`cos^(-1)((sqrt(1+sinx)+sqrt(1-sinx))/(sqrt(1+sinx)-sqrt(1-sinx)))=(x)/(2),x""in(0,(pi)/(4))`

Explanation

`sqrt(1+sinx)=sqrt(sin^(2)""(x)/(2)+cos^(2)""(x)/(2)+2sin""(x)/(2)cos""(x)/2)`
`=sqrt((sin^(2)""(x)/(2)+cos""(x)/(2))^(2))=sin""(x)/(2)+cos""(x)/(2)`
तथा `sqrt(1-sinx)=sqrt(sin^(2)""(x)/(2)+cos^(2)""(x)/(2)-2sin""(x)/(2)cos""(x)/(2))`
`=sqrt((cos""(x)/(2)-sin""(x)/(2))^(2))=cos""(x)/(2)-sin""(x)/(2)`
`("":'x""in(0,(pi)/(4))impliescos""(x)/(2)gtsin""(x)/(2))`
अब
`L.H.S.=cot^(-1)((sqrt(1+sinx)+sqrt(1-sinx))/(sqrt(1+sinx)-sqrt(1-sinx)))`
`=cot^(-1){((sin""(x)/2+cos""(x)/(2))+(cos""(x)/(2)-sin""(x)/(2)))/((sin""(x)/(2)+cos""(x)/(2))-(cos""(x)/(2)-sin""(x)/(2)))}`
`=cot^(-1)((2cos""(x)/(2))/(2sin""(x)/(2)))`
`=cot^(-1)(cot""(x)/(2))=(x)/(2)=R.H.S.`