दिखाइए कि `y=a.e^(2x)+b.e^(-x)` अवकलन समीकरण `(d^(2)y)/(dx^(2))-(dy)/(dx)-2y=0` का एक हल है।

Explanation

`y=ae^(2x)+be^(-x)" ….(1)"`
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
`(dy)/(dx)=a.e^(2x).(2)+b.e^(-x)(-1)`
`implies(dy)/(dx)=2a.e^(2x)-b.e^(-x)" ....(2)"`
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर
`(d^(2)y)/(dx^(2))=2a.e^(2x).(2)-b.e^(-x)(-1)`
`implies(d^(2)y)/(dx^(2))=4a.e^(2x)+b.e^(-x)" ....(3)"`
अब `L.H.S. = (d^(2)y)/(dx^(2))-(dy)/(dx)-2y`
`=(4a.e^(2x)+be^(-x))-(2ae^(2x)-b.e^(-x))-2(ae^(2x)+be^(-x))`
[समीकरण (1), (2) और (3) से मान रखने पर]
`=4ae^(2x)+be^(-x)-2ae^(2x)+be^(-x)-2ae^(2x)-2be^(-x)`
=0=R.H.S.
अतः `y=ae^(2x)+be^(-x)` दी गई अवकल समीकरण का एक हल है।