बिन्दु (0, 0) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण `y' = e^(x) sin x` है।

Explanation

दिया है, वक्र का अवकल समीकरण,
`y'=e^(x)sinx` या `(dy)/(dx)=e^(x)sinx`
`implies dy=e^(x)sin x dx`
`implies int dy = int e^(x)sinxdx" …..(1)"`
माना `I=inte^(x)sin xdx" ….(2)"`
`implies I=sinx inte^(x)dx-int[(d)/(dx)(sinx)inte^(x)dx]dx`
`=sinx inte^(x)dx-intcosx.e^(x)dx`
`=sinx.e^(x)-[cos x.inte^(x)dx-int((d)/(dx)(cos x).inte^(x)dx)dx]`
`implies I=sinx.e^(x)-[cosx.e^(x)-int(-sinx).e^(x)dx]`
`=sinx.e^(x)-e^(x).cosx-inte^(x).sinx.dx`
`implies I=sinx.e^(x)-cosx.e^(x)-I` [समीकरण (2) से]
`implies 2I=e^(x)(sin x- cosx)`
`implies I=(e^(x)(sinx-cosx))/(2)`
यह मान समीकरण (1) में रखने पर,
`y=(e^(x)(sinx-cosx))/(2)+C" ....(3)"`
वक्र बिन्दु (0, 0) से होकर जाता है। अतः x =0, y = 0 रखने पर,
`therefore 0 =(e^(0)(sin0-cos0))/(2)+C` [समीकरण (3) से]
`0=(1(0-1))/(2)+CimpliesC=(1)/(2)`
समीकरण (3) में `C=(1)/(2)` रखने पर,
`y=(e^(x)(sinx-cosx))/(2)+(1)/(2)`
`implies 2y=e^(x)(sin x- cos x)+1`
`implies 2y-1=e^(x)(sin x- cos x)`
जोकि अभीष्ट वक्र का समीकरण है।