एक गोलाकार गुब्बारे का आयतन, जिसे हवा भरकर फुलाया जा रहा है, स्थिर गति से बदल रहा है यदि आरम्भ में इस गुब्बारे की त्रिज्या 3 इकाई है और 3 सेकेण्ड बाद 6 इकाई है, तो t सेकेण्ड बाद उस गुब्बारे की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

Explanation

माना गुब्बारे के आयतन के परिवर्तन की दर अचर k है।
तब, `(d)/(dt)` (आयतन) = अचर
`implies (d)/(dt)((4)/(3)pir^(3))=k` (`because` गोले का आयतन `=(4)/(3)pir^(3)`)
`implies ((4)/(3)pi)(3r^(2)(dr)/(dt))=k`
`implies 4pir^(2)dr=k dt" ....(1)"`
`implies 4pi intr^(2)dr=kintdt`
`implies 4pi(r^(3))/(3)=kt+Cimplies4pir^(3)=3(kt+C)" ....(2)"`
प्रारम्भ में, जब t = 0 तो r = 3
`therefore 4pi(3)^(3)=3(kxx0+C)`
`implies 108pi=3C implies C =36pi`
पुनः जब t = 3, तो r = 6, तब समीकरण (2) से,
`4pi(6)^(3)=3(kxx3+C)`
`implies 864pi=3(3k+36pi)`
`3k=288pi-36pi=252piimplies k=84pi`
k तथा C का मान समीकरण (2) में रखने पर,
`4pir^(3)=3(84pit+36pi)implies4pir^(3)=4pi(63t+27)`
`implies r^(3)=63t+27 implies r=(63t+27)^(1//3)`
जोकि समय t पर गुब्बारे की अभीष्ट त्रिज्या है।