यदि `y=e^(x)(acosx+bsinx)` है तो सिद्ध कीजिए कि
`(d^(2)y)/(dx^(2))-2(dy)/(dx)+2y=0`

Explanation

(i) दिया है,
`x(d^(2)y)/(dx^(2))+2(dy)/(dx)-xy+x^(2)-2=0 " ....(1)"`
तथा `y=ae^(x)+be^(-x)+2x`
`implies (dy)/(dx)=ae^(x)-be^(-x)+2x`
`implies (d^(2)y)/(dx^(2))=ae^(x)+be^(-x)+2`
अब, `y,(dy)/(dx)` तथा `(d^(2)y)/(dx^(2))` का मान समीकरण (1) में रखने पर,
बायाँ पक्ष = `x(d^(2)y)/(dx^(2))+2(dy)/(dx)-xy+x^(2)-2`
`=x(ae^(x)+be^(-x)+2)+2(ae^(x)-be^(-x)+2x)-x(ae^(x)+be^(-x)+x^(2))+x^(2)-2`
`=(axe^(x)+bxe^(-x)+2x)+(2ae^(x)-2be^(-x)+4x)-(axe^(x)+bxe^(-x)+x^(3))+x^(2)-2`
`=axe^(x)+bxe^(-x)+2x+2ae^(x)-2be^(-x)+4x-axe^(x)-bxe^(-x)-x^(3)+x^(2)-2`
`=2ae^(x)-2be^(-x)-x^(3)+x^(2)+6x-2ne0`
दायाँ पक्ष `ne` बायाँ पक्ष
अतः दिया गया फलन, दिए गए अवकल समीकरण का हल नहीं है।
(ii) दिया है, `y=e^(x)(acosx+bsinx)`
`impliese^(-x)y=acosx+bsinx" ....(1)"`
`implies e^(-x)(dy)/(dx)-ye^(-x)=-asinx+bsinx`
`implies e^(-x)(d^(2)y)/(dx^(2))-(dy)/(dx)e^(-x)-(-ye^(-x)+e^(-x)(dy)/(dx))=-acosx-bsinx`
`impliese^(-x)(d^(2)y)/(dx^(2))-(dy)/(dx)e^(-x)+ye^(-x)-e^(-x)(dy)/(dx)=-(acosx-bsinx)`
`impliese^(-x)(d^(2)y)/(dx^(2))-2e^(-x)(dy)/(dx)+ye^(-x)=-ye^(-x)` [समीकरण (1) से]
`impliese^(-x)(d^(2)y)/(dx^(2))-2e^(-x)(dy)/(dx)+2ye^(-x)=0`
`implies e^(-x)((d^(2)y)/(dx^(2))-2(dy)/(dx)+2y)=0`
`implies(d^(2)y)/(dx^(2))-2(dy)/(dx)+2y=0`
अतः दिया गया फलन, दिए गए अवकलन समीकरण का हल है।
(iii) दिया है `y = x sin 3x " ....(1)"`
`implies (dy)/(dx)=x(d)/(dx)(sin 3x)+sin 3x(d)/(dx)(x)`
`(dy)/(dx)=x cos 3x xx 3+sin3x`
`=3x cos3x+sin3x`
`implies (d^(2)y)/(dx^(2))=3[x(d)/(dx)cos3x+cos3x(d)/(dx)(x)]+(d)/(dx)(sin3x)`
`implies (d^(2)y)/(dx^(2))=3[x(-sin3x xx3)+cos3x]+cos3x xx3`
`implies (d^(2)y)/(dx^(2))=-9xsin3x+3cos3x+3cos3x`
`implies (d^(2)y)/(dx^(2))=-9xsin3x+6cos3x`
`implies (d^(2)y)/(dx^(2))=-9y+6cos3x` [समीकरण (1) से, y = x sin 3x]
`implies (d^(2)y)/(dx^(2))+9y-6cos3x=0`

अतः दिया गया फलन, दिए गए अवकल समीकरण का हल है।
(iv) दिया है, `x^(2)=2y^(2)logy`
`implies 2x=2(y^(2)xx(1)/(y)(dy)/(dx)+logyxx2y(dy)/(dx))`
`implies 2x=2(y+2ylogy)(dy)/(dx)`
`impliesx=(y+2ylogy)(dy)/(dx)`
`implies xy=(y^(2)+2y^(2)logy)(dy)/(dx)`
`implies xy=(y^(2)+x^(2))(dy)/(dx)`
`implies(x^(2)+y^(2))(dy)/(dx)-xy=0`
अतः दिया गया फलन, दिए गए अवकल समीकरण का हल है।