किसी गाँव की जनसंख्या की वृद्धि की दर किसी भी समय उस गाँव के निवासियों की संख्या के समानुपाती है। यदि सन 1999 में गाँव की जनसंख्या 20,000 थी और सन 2004 में 25,000 थी, तो ज्ञात कीजिए कि सन 2009 में गाँव की जनसंख्या क्या होगी?

Explanation

मान लीजिए समय t पर जनसंख्या y है, तब `(dy)/(dt)propy implies (dy)/(dt)=ky`, जहाँ k एक अचर है।
`implies (dy)/(y)=kdt`
समाकलन करने पर, `logy=kt+C" ….(1)"`
वर्ष 1999 में, t = 0, y = 20000
समीकरण (1) से, `log 20000 = k (0) + C`
`implies log 20000 = C " ....(2)"`
वर्ष 2004 में,
अतः समीकरण (1) से,
log 250000 = k.5+C
implies log 25000 = 5k + log 20000 [समीकरण (2) से]
`implies 5k = log((25000)/(20000))=log((5)/(4))`
`implies k=(1)/(5)log.(5)/(4)`
वर्ष 2009 के लिए, t = 10 वर्ष
अब, t, k तथा C का मान समीकरण (1) में रखने पर,
`log y = 10 xx(1)/(5)log((5)/(4))+log(20000)`
`implies logy=log[20000xx((5)/(4))^(2)]`
`implies y =20000xx(5)/(4)xx(5)/(4) implies y = 31250`
अतः वर्ष 2009 में गाँव की जनसंख्या 31250 होगी।