सदिश विधि द्वारा सिद्ध कीजिए कि ` sin ( alpha - beta ) = sin alpha cos beta - cos alpha sin beta `

Explanation

माना ` hati ` और ` hatj ` क्रमश : OX और OY दिशा में एकांक सदिश है OP और OQ रेखाएँxy - समतल में स्थित है जो OX से क्रमश : ` alpha ` और `beta ` कोण बनती है
` therefore angle POQ = alpha - beta `
यदि OP दिशा में एकांक सदिश ` vec (OA )` है , तो
` vec(OA) = cos alpha . hati + sin alpha . hatj`
इसी प्रकार यदि OQ दिशा में एकांक सदिश `vec (OB )` है तो
` vec(OB) = cos beta . hati + sin beta . hatj `
` therefore vec(OB ) xx vec(OA) =( cos beta . hati + sin beta . hatj ) xx( cos alpha . hati + sin alpha . hatj )`
` =|{:( hati , hatj , hatk ) ,( cos beta , sin beta , 0) /( cos alpha , sin alpha , 0):}|`
` = ( sin alpha . cos beta - cos alpha sin beta ) hatk ` .... (1)
सदिश गुणन की परिभाषा से
` vec(OB) xx vec(OA) =|vec(OB) ||vec(OA) | sin ( alpha - beta ) . hatk `
`=1xx1xxsin ( alpha - beta ) . hatk `
`= sin ( alpha - beta ) . hatk `
` therefore ` समीकरण (1) और (2) से
` sin ( alpha - beta ) . hatk =( sin alpha cos beta - cos alpha sin beta ) . hatk `
` implies sin ( alpha - beta ) = sin alpha cos beta - cos alpha sin beta `