दर्शाइए कि बिंदु ` A(1,-2,-8),B(5,0,-2)` और `C ( 11,3,7)` संरेख है और
B द्वारा AC को विभाजित करने वाला अनुपात ज्ञात कीजिए ।

Explanation

` vec(AB) =B ` का स्थिति सदिश -A का स्थिति सदिश
` = ( 5 hati +0 hatj - 2 hatk)- ( hati - 2 hatj - 8 hatk )`
` = 4 hati + 2 hatj + 6 hatk`
`|vec(AB)|= sqrt( 4^(2)+2^(2)+6^(2))`
` =sqrt(16+4+36) = sqrt(56)= 2 sqrt(14)`
` vec(BC) =C ` का स्थिति सदिश -B का स्थिति सदिश
` =( 11 hati +3 hatj + 7 hatk) -(5 hati +0 hatj - 2 hatk)`
`= 6 hati + 3hatj + 9 hatk`
`|vec(BC)| = sqrt(6^(2)+3^(2)+9^(2))`
` = sqrt(36+9+8)= sqrt( 126) = 3 sqrt( 14)`
` vec(AC)= C` का स्थिति सदिश -A A का स्थिति सदिश
` =(11 hati + 3 hatj + 7 hatk ) -(hati - 2 hatj - 8 hatk)`
`=10 hati + 5 haj + 15 hatk`
`|vec(AC) |= sqrt(10^(2)+5^(2)+15^(2))`
` sqrt(100+25+225)= sqrt(350)= 5 sqrt(14)`
` therefore | vec(AC) |=|vec(AB)|+|vec(BC)|`
अंत : दिए गए बिंदु A ,B तथा C संरेख है ।
माना रेखा AC पर बिंदु B इस प्रकार है कि वह ।AC । को के अनुपात में विभक्त करता है , तब
B का स्थिति सदिश
=[( `lamda xxC` का स्थिति सदिश + `1 xx A` का स्थिति सदिश )]/( `lamda +1`)
` =(1) /( lamda +1) {lamda (11hati + 3 hatj + 7 hatk )+1(hati - 2 hatj - 8 hatk)}`
`=((11 lamda +1)/( lamda +1))hati +((3 lamda - 2) /( lamda +1)) hatj +((7 lamda -8 ) /( lamda +1))hatk`
` = 5 hati +0 hatj -2 hatk`
`implies ( 11 lamda +1)/( lamda +1)=5,( 3 lamda - 2 )/(lamda +1)=0` तथा `( 7 lamda - 8) /( lamda +1)=-2`
` implies 11 lamda + 1 = 5 lamda + 5, 3 lamda = , 7 lamda -8 =- 2 lamda - 2`
` implies 6 lamda = 4, lamda =(2)/(3) , 9 lamda = 6 implies lamda =(2)/(3)`
अंत : A ,B व C बिंदु संरेख है तथा बिंदु B , AC को `2 //3 : 1 ` के अनुपात में अर्थात 2 : 3 के अनुपात में विभक्त करता है ।