m द्रव्यमान का एक पिण्ड किसी आदर्श स्प्रिंग के सिरे पर लटका हुआ सरल आवर्त्त गति करता है | स्प्रिंग का बल - नियतांक k तथा पिण्ड का दोलनकाल T है | विमीय विधि से सिद्ध कीजिये कि ` T = 2 pi ( m ) /(k ) ` समीकरण अशुद्ध है | इसका सही रूप स्थापित कीजिये |

Explanation

किसी समीकरण की सत्यता के लिए उसके दोनों ओर के पदों की विमाए समान होनी चाहिए |
T का विमीय सूत्र = `[ T ]`
m का विमीय सूत्र =`[M] `
k का विमीय सूत्र ` = [MT^( - 2 ) ] `
अतः समीकरण ` T = 2 pi ( m ) /(k ) ` में,
L.H.S. का विमीय सूत्र = ` [T] = [ M^(0) L ^(0) T ] `
R.H.S का विमीय सूत्र ` ( [M])/([MT^( - 2 ) ] ) =[ T ^(2)] = [ M ^(0 ) L ^(0 ) T ^(2)] `
`" "(2pi ` विमहीन है)
दोनों ओर की विमये समान नहीं है | अतः समीकरण ` T = 2pi ( m ) / (k ) ` अशुद्ध है
सही रूप ज्ञात करने के लिए,
माना ` T prop m ^(a) k ^(b) `
` T = C m ^(a) k ^b ` ... (1)
जहाँ C विमहीन नियतांक है |
विमीय रूप में लिखने पर,
`[M^(0)L^0 T ] = [M] ^a [MT^-2]^b `
अथवा ` [ M ^(0 ) L ^(0 ) T ] = [ M ^( a + b ) L ^( 0 ) T ^( - 2b ) ] `
विमीय संतुलन के लिए दोनों ओर के पदों की विमाए समान होनी चाहिए |
तुलना करने पर, ` a + b = 0 ` तथा ` - 2 b = 1 `
हल करने पर, ` a = ( 1 ) /(2), b = - ( 1) /(2) `
a व b का मान समीकरण (1 ) में रखने पर,
` T = Cm ^( 1//2) k ^( - 1//2) = C sqrt ( ( m ) /( k )) `
प्रयोगो के आधार पर, ` C = 2pi `
अतः ` T = 2pi sqrt(( m ) /( k ) ) ` सही रूप है |