समान्तर-अक्षों के प्रमेय की उपपत्ति करें। [संकेत- यदि द्रव्यमान केन्द्र को मूल बिन्दु ले लिया जाये तो

Explanation

समान्तर-अक्षो की प्रमेय -इसके अनुसार किसी पिंड का किसी दिए गए अक्ष: के पारित जड़त्व आघूर्ण I उस पिंड के द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाले तथा दिए गए अक्स के समान्तर किसी अक्स के पारित: जड़त्व आघूर्ण `I_(C)` व् पिंड के द्रव्यमान M व दोनों अक्षो के मध्य लंबवत दुरी h के वर्ग के गुणनफल के योग के तुल्ये होता है।
जहाँ `I_(c)=` द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्स के पारित: जड़त्व आघूर्ण है
अक्ष: के समान्तर तथा इससे लंभवत दुरी h पर अक्ष ZZ के पारित: जड़त्व आघूर्ण है
M=n कणो की बानी वास्तु का द्रव्यमान `=underset(i=1)overset(n)sum m_(i)`
` I = I _ c + mh ^ 2 `
जहाँ ` I _ c ` = द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है |
अक्ष LL' के समांतर तथा इससे लंबवत दुरी h पर अक्ष ZZ ' के परितः जड़त्व आघूर्ण है |
M = n कानो की बनी वस्तु का द्रव्यमान = `sum _ ( i = 1 ) ^ n m _ i `

उपपत्ति - मान लीजिये गुरुत्व केंद्र से गुजरने वाली LL' अक्ष से ` r _ i` दुरी पर कण को P बिंदु पर (वस्तु के अंदर ) स्थित किया गया है |
` thereore ZZ' ` अक्ष से कण की दुरी = OP = OC+ CP = h ` + r _ i ` यदि ` I _ c = ` अक्ष LL' के परितः सम्पूर्ण वस्तु का जड़त्व आघूर्ण है |
तब, ` I _ c = sum _ ( i = 1 ) ^n m _ i r _ i ^ 2 " " `...(i)
माना यदि अक्ष ZZ' के परितः जड़त्व आघूर्ण ` I _ i ` है ,
तब ` I _ i = m _ i ( O P )^ 2 = m _ i ( r _ i + h ) ^ 2 `
यदि सम्पूर्ण वस्तु का अक्ष ZZ' के परितः जड़त्व आघूर्ण I है ,
तब, ` I = sum _ ( i= 1 ) ^n I _ i = sum _ ( i = 1 ) ^ n m _ i ( r _ i + h ) ^ 2 `
` = sum _ ( i = 1 ) ^ n m _ i ( r _ i^ 2 + h ^ 2 + 2 m _ i r _i ) `
` = sum _ ( i = 1 )^n m_ i r _ i ^ 2 + sum _ ( i = 1 ) ^ n m _ i h^ 2+ sum _ ( i = 1 ) ^n 2 m _ i r _ i `
` = I_ c + ( sum _ ( i = 1 ) ^ n m _ i ) h^ 2 + 2 ( sum _ ( i = 1 ) ^ n m _ i r _ i ) `
` = I _ c + Mh ^ 2 + 0 = I _ c + Mh^ 2 `
जहाँ, ` sum _ ( i= 0 ) ^n m _ i r _ i = ` वस्तु के सभी कणो का द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघुर्णो का योग है |
तो , ` sum_ ( i = 1 ) ^ n m _ i r _ i = 0 `
( यदि द्रव्यमान केंद्र का मूल बिंदु ले लिया जाए )
` therefore " " I = I _ c + M h^ 2 `