10 सेमी त्रिज्या की कोई ठोस चक्रिका तथा इतनी ही त्रिज्या का कोई छल्ला किसी क्षैतिज मेज पर एक ही क्षण ` 10pi rad s^(-1)` की कोणीय चाल से रखे जाते है|इनमें से कौन पहले लोटनिक गति आरम्भ कर देगा? ( गतिज घर्षण गुणांक `mu_k=0.2` )|

Explanation

ठोस चक्रिका तथा छल्ले की त्रिज्या
` " "(R)=10 ` सेमी
` " "=0.10` मीटर
` (##BLJ_HIN_PHY_XI_C11_E10_012_S01.png" width="80%">
प्रारंभिक कोणीय वेग ` (omega _0 )= 10 pirad //s `
गति घर्षण गुणांक ` (mu_k ) =0.2`
छल्ले का जड़त्व आघूर्ण `(I_1) =MR^(2) `
चक्रिका का जड़त्व आघूर्ण ` (I_2) =(1)/(2) MR^(2)`
घर्षण गति के लिए उत्तरदायी है|घर्षण बल गति के लिए उत्तरदायी होता है | तथा घर्षण प्रारंभिक रेखीय वेग से वलय तथा डिस्क के द्रव्यमान केंद्र को त्वरित कर देता है | माना घर्षण बल आघूर्ण प्रारंभिक वेग को कम कर देता है| ltBrgt अब ` " "F =mu _ k N= ma " "...(i)`
या ` " "mu_k mg =ma " "...(ii)`
या ` " " a=mu_k g " "...(iii)`
यदि `alpha ` कोणीय त्वरण है,
तब ` " " ` बल आघूर्ण ` tau =-Ialpha `
` " "` बल आघूर्ण ` tau = FR `
अतः ` " " tau =Ialpha =FR =mu _k mgR" "....(iv)`
जहाँ R =चक्रिका या छल्ले की त्रिज्या है| यहाँ u =0 गति की समीकरण से v =u +at
` " " v= at `
या ` " "a= (v)/(t) `
समीकरण (iii )से ` " " a= mu_k g `
या ` " " (v)/(t) =mu_k g`
या ` " "v= mu_k g t" "` ( छल्ले के लिए )
तथा ` " "v= mu_kg t '" "` ( चक्रिका के लिए )
समीकरण (iv ) से ` " "alpha =-( mu_k mgR )/(I) =(mu_kmgR)/(MR^(2))`
या ` " "alpha =-(mu_k g)/(R) " "` (छल्ले के लिए)
ततः ` " "alpha =-( m_k mgR )/((1)/(2) mR^(2) )= -(2mu_kg)/(R) `
` " " ` (चक्रिका के लिए ) ...(vii )
माना ` omega =t` समय बाद छल्ले की तथा t समय बाद चक्रिका का कोणीय वेग है|
`therefore ` हम जानते है की ` " " omega =omega _0 +alphat`
छल्ले के लिए ` " "omega =omega _0 -(mu_kg t)/(R) " "...(viii)`
डिस्क के लिए ` " "omega =omega _0 -(2mu _k g t ')/(R) " "...(ix)`
लुढ़कने की स्थिति के लिए ` v= Romega `
` " "mu_k g t =( omega _0 -( mu_k g t)/(R))`
` " "=Romega _0 -mu_k g t `
या ` " "2mu _k g t =Romega _0`
या ` " " t= (Romega _0)/( 2mu_k g)`
चक्रिका के लिए ` " "mu_kgt'=R (omega _0-( 2mu_kg t')/(R) )`
` " " =Romega _0 - 2mu_k g t' `
या ` " " t' =(Romega _0)/(3mu_k g)" "...(x i)`
यह मान ` R= 0.1` मीटर ` omega =10 pi rad //s,mu =0.2`
` " " =g=9.8` मीटर/सेकंड `""^(2 )`
समीकरण (x ) तथा (xi ) में रखने पर
` " " t= (0.1xx10pi)/(2xx0.2xx9.8)=0.8` सेकंड ltBrgt तथा ` " " t'=(0.1xx10pi )/(3xx0.2xx9.8) =0.53` सेकंड
` " "...(x iii)`
समीकरण (xii ) तथा (xiii ) से यह स्पष्ट होता है की `t'lt t ` अतः चक्रिका पहले लोटनिक गति आरम्भ करेगी|