यह दर्शाइए कि रैखिक सरल आवर्त गति करते किसी कण के लिए दोलन कि इसी अवधि कि औसत गतिज ऊर्जा उसी अवधि कि औसत स्थितिज ऊर्जा के समान होती है ।

Explanation

SHM में गतिज ऊर्जा `E_(k) = 1/2 mupsilon^(2)`
एक आवर्तकाल में औसत गतिज ,
` E_(k) = 1/T int_(0)^(T)1/2 m upsilon^(2) dt`
` E_(k) = 1/T int_(0)^(T)1/2 m upsilon^(2) dt`
` x = A sin omegat`
` :. upsilon = (dx)/(dt ) = omega A cos omega t`
` :. (KE) _(av)= 1/T int_(0)^(T) m omega^(2) A^(2)cos^(2)(omegat)dt`
` = 1/(2T)momega^(2) A^(2) int_(0)^(T) ((1+ cos 2omegat)/2)dt`
` = 1/(4T) momega^(2) A^(2)|t+(sin2omegat)/(2omega)|_(0)^(T)`
` = 1/(4T)m omega^(2) A^(2) (T-0)`
` = 1/(4T) m omega^(2) A^(2)(T)`
अथवा `(KE)_(av) = 1/4 momega^(2)A^(2)" "` ...(i)
अब , SHM में स्थितिज ऊर्जा
` 1/2 kx^(2)`
` :.` औसत स्थितिज ऊर्जा ,
` (PE)_(av) = 1/(2T) int_(0)^(T) k x^(2) dt `
` = 1/(2T) int_(0)^(T) m omega^(2) A^(2) sin^(2) omega t dt `
` ( :' k = momega^(2))`
` = 1/(2T ) int_(0)^(T) momega^(2) A^(2) ((1-cos 2omegaT)/2)dt`
` ( :' cos 2 omega t = 1 -2 sin^(2) omegat)`
` = 1/(4T) momega^(2) A^(2) [ t - (sin 2 omegat)/(2omega )]_(0)^(T)`
` = 1/(4T) momega^(2) A^(2)(T)`
` =1/4 momega^(2)A^(2)" "` ...(ii)
अतः `(KE)_(av)= (PE)_(av)`