निम्नलिखित राशियों के विमीय सूत्र निकालें।
(a) गुरुत्वाकर्षण का नियतांक G
(b) पृष्ठ-तनाव (surface tension) S
(c) तापीय चालकता (thermal conductivity) K
(d) श्यानता गुणांक `eta`
इन राशियों से सम्बंधित कुछ समीकरण इस प्रकार हैं-
`F=(Gm_(1)m_(2))/r^(2)," "S=(rho grh)/2`,
`Q=K (A(theta_(2)-theta_(1)))/d," "F=eta A (v_(2)-v_(1))/(x_(2)-x_(1))`
संकेतों के अर्थ सामान्य हैं और प्रत्येक खंड के हल में ये अर्थ और विस्तार से बताए गए हैं।

Explanation

(a) `F=(Gm_(1)m_(2))/r^(2)`, यह न्यूटन द्वारा स्थापित गुरुत्वाकर्षण का नियम है। `m_(1)` तथा `m_(2)` दो छोटी वस्तुओं के द्रव्यमान हैं तथा r उनके बीच की दुरी है। F प्रत्येक वस्तु द्वारा दूसरे पर लगाए जाने वाले गुरुत्वाकर्षण के बल परिमाण है।
`G=(Fr^(2))/(m_(1)m_(2))`
अतः, `[G]=([F]L^(2))/M^(2)=(MLT^(-2).L^(2))/M^(2)=M^(-1)L^(3)T^(-2)`.
(b) पृष्ठ-तनाव किसी द्रव की सतह से सम्बंधित गुण है। दिए गए समीकरण में एक पतली नली में द्रव के चढ़ने की परिस्थिति का वर्णन है। द्रव का घनत्व `rho`, गुरुत्वीय त्वरण g नली का व्यास r और नली में द्रव के चढ़ने की ऊँचाई h है।
`S=(rho grh)/2`
अतः `[S]=[rho][g]L^(2)=M/L^(3) L/T^(2) L^(2) =MT^(-2)`
(c) समीकरण `Q=K (A(theta_(2)-theta_(1))t)/d` एक छड़ से जुगरती ऊष्मा को बताता है। ऊष्मा ऊर्जा का रूप है जिसे यहाँ Q लिखा गया है, A छड़ के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है, `theta_(1)` तथा `theta_(2)` छड़ के दो सिरों के ताप हैं, t समय है तथा d छड़ के सिरों के बीच की दुरी है।
`K=(Qd)/(A(theta_(2)-theta_(1))t)`
अतः, `[K]=([Q]L)/(L^(2)KT)=(ML^(2)T^(-2)L)/(L^(2)KT)=MLT^(-3)K^(-1)`.
(d) श्यानता बहते हुए द्रव के विभिन्न भागों द्वारा एक-दूसरे पर लगाते बल से सम्बंधित गुण है। दिए गए समीकरण में F बल, A क्षेत्रफल, v वेग तथा x दुरी को बताता है।
`F=eta A (v_(2)-v_(1))/(x_(2)-x_(1))`
या `MLT^(-2)=[eta] L^(2) (L//T)/L =[eta] L^(2)/T`
या `[eta]=ML^(-1) T^(-1)`.