एक कण को समय t =0 पर ऊर्ध्वाधर दिशा में ऊपर की और फेंका जाता है| ऊपर की और चली हुई दुरी y समय के साथ निम्नलिखित अवकल समीकरण के अनुसार बदलती है,
` " "(dy)/(dx) =v_0 -g t `
जहाँ ` v_0` कण का आरम्भिक वेग है तथा ` g= 9.8m//s^(2)` एक स्थिरांक है| इस अवकल समीकरण को हल करके y को t के पदों में निकालें|

Explanation

` " "(dy)/(dt) =v_0 -gt `
या ` " " dy =(v_0 -g t) dt `
या ` " " int dy=int (v_0 -g t ) dt =int v_0 dt -int g t dt `
या ` " " y= v_0 t- g ((1)/(2) t^(2))+C`
या ` " " y= v_0 t-(1)/(2) g t ^(2) + C.`
अब ` t=0 ` पर y =0 है| ऊपर के समीकरण में ये मान रखने अपर C =0 ,अतः ` " " y= v_0 t-(1)/(2) g t^(2)`
इस अभ्यास में अनिश्चित समाकलन करके एक स्थिरांक C जोड़ा गया है|फिर प्रारंभिक मानों से C का मान निकाला गया है| इसी काम को करके के लिए हम निश्चित समाकलन का उपयोग भी कर सकते है| समीकरण (i )से,
` " " int dy =int (v_0 -g t ) dt `
यहाँ बायीं और dy है यानि y के सापेक्ष समाकलन हो रहा है| दाहिनी और dt है यानि t के सापेक्ष समाकलन हो रहा है| प्रारम्भ में `t=0 ` है तथा y =0 है| अतः दोनों समाकलनो में प्रारंभिक सिमा 0 रखी जायगी| बाद में जब समय का मान t हुआ तो राशि y का मान y हो गया| अतः बायीं और समाकलन की अंतिम सिमा y तथा दाहिनी और समाकलन की अंतिम सिमा t रखी जायगी| इस तरह समीकरण (i ) को निम्न प्रकार लिख सकते है,
` " " int _0^(y) dy =int _0^(t) (v_0 -g t ) dt " " ` या ` " " [y]_0^(y) =[v_0 t -(1)/(2) g t^(2) ]_0^(t)`
या ` " " y-0 =( v_0t -(1)/(2) g t^(2)) -(v_0 *0-(1)/(2) g *0^(2))`
या ` " " y=v_0 t (1)/(2) g t^(2)`