x - अक्ष पर चले हुए एक कण का त्वरण ` a = k _ 1 + k _ 2 t ` है, जहाँ ` k _ 1 ` तथा ` k _ 2 ` अचर है | t =0 समय पर वह कण x = 0 पर है तथा इसका वेग u है | t समय पर इसका वेग तथा स्थान बताएँ |

Options

A. ` v = u + k _ 1 t + ( 1 ) /( 2 ) k _ 2 t ^ 2 `, ` x = ut + ( 1 ) /(2 ) k _ 1 t + (1 )/(6 ) k _ 2 t^ 3 `
B. ` v = u + k _ 1 t + ( 1 ) /( 5 ) k _ 2 t ^ 2 `, ` x = ut + ( 1 ) /(2 ) k _ 1 t + (1 )/(5 ) k _ 2 t^ 3 `
C. ` v = u + k _ 1 t + ( 1 ) /( 2 ) k _ 2 t ^ 3 `, ` x = ut + ( 1 ) /(2 ) k _ 1 t + (1 )/(6 ) k _ 2 t^ 5 `
D. ` v = 2u + k _ 1 t + ( 1 ) /( 2 ) k _ 2 t ^ 2 `, ` x = 5ut + ( 1 ) /(2 ) k _ 1 t + (1 )/(6 ) k _ 2 t^ 3 `

Answer

A

Explanation

हम जानते है कि ` a = ( dv ) /( dt ) `
अतः ` ( dv ) /(dt ) = k _ 1 + k _ 2 t `
या ` dv = ( k _ 1 + k _ 2 t ) dt `
प्रारम्भ में ` t = 0 ` और ` v = u`, बाद में ` t = t ` और ` v = v ` .
अतः ` int _ u ^ v dv = int _ 0 ^ t ( kx _ 2 + k _ 2 t ) dt `
या ` [v] _ u ^ v = [ k _ 1 t + (1)/(2 ) k _ 2 t ^ 2 ] _0 ^ t `
या ` v - u = k _ 1 t + ( 1 ) /( 2 ) k _ 2 t ^ 2 `
या ` v = u + k _ 1 t + ( 1 ) /( 2 ) k _ 2 t ^ 2 `
यही समीकरण t समय पर कण के वेग का मान बताता है | अब ` v = ( dx )/ ( dt ) `
अतः, ` ( dx )/ (dt ) = u + k _ 1 t + ( 1 )/( 2 ) k _ 2 t ^ 2 `
या ` dx = ( u + k _ 1 t + (1 ) /( 2) k _ 2 t^ 2 ) dt `
प्रारम्भ में ` t = 0 , x = 0 ` तथा बाद में ` t = t, x = x ` अतः
` int _ 0 ^ x dx = int _ 0 ^ t ( u + k _ 1 t + ( 1 ) /( 2 ) k _ 2 t^ 2 ) dt `
या ` [x]_0 ^ x = [ ut + ( 1 )/( 2 ) k _1 t ^ 2 + ( 1 )/ ( 6 ) k _2 t ^ 3 ] _ 0 ^ t `
या ` x = ut + ( 1 ) /(2 ) k _ 1 t + (1 )/(6 ) k _ 2 t^ 3 `.
समीकरण, t समय पर कण का स्थान बताता है | जब भी कण का त्वरण समय t के फलन के रूप में पता हो, तो इस विधि का उपयोग कर वेग या स्थाम मालूम कर सकते है |