x -अक्ष पर चलते हुए एक कण का त्वरण ` a = - k x ` है | प्रारम्भ में कण ` x = A ` पर है तथा इसका वेग शून्य है | जब यह पहली बार ` x = A//2 ` पर पंहुचता है , उस समय इसका वेग निकाले |

Options

A. ` v = - ( sqrt (5k))/( 2 ) A `
B. ` v = - ( sqrt (3k))/( 2 ) A `
C. ` v = - ( sqrt (3k))/( 5 ) A `
D. ` v = - ( sqrt (7k))/( 2 ) A `

Answer

B

Explanation

दिया गया ही कि ` a = (dv)/(dt ) = - kx `
अब ` ( dv ) /(dt ) = (dv ) /(dx ) ( dx )/(dt ) = ( (dv ) /(dt )) v `
अतः ` v (dv ) /( dt ) = -kx " " ` या ` vdv = -kx dx `
प्रारम्भ में ` x = A ` तथा ` v = 0 ` है , बाद में ` x = (A)/( 2 ) ` तथा ` v = v ` है |
अतः , ` int _ 0 ^ v v dv = int _ A^ ( A//2 ) - kx dx " " ` या ` [ ( v ^ 2 )/( 2 ) ] _ 0 ^ v = [ - ( 1 ) /(2) k x ^ 2 ] _ A ^ ( A//2) `
या ` v ^ 2 = k ( A^ 2 - ( A ^ 2 ) /( 4 ) ) = ( 3 ) /( 4 ) kA ^ 2 `
या ` v = pm ( sqrt( 3k ))/( 2 ) A " " `... (i)
यहाँ यह ध्यान रखने की बात है कि v का मान धनात्मक या ऋणात्मक दोनों हो सकता है | दी हुई परिस्थिति के अनुसार यह निर्णय करना होता है कि कौन - सा चिन्ह चुना जाए |
प्रारम्भ में कण ` x = A ` पर विराम में था तथा इसका त्वरण ऋणात्मक है (` a = - kx ` ) | अतः , कण ऋणात्मक x - अक्ष की दिशा में चलेगा , अर्थात वेग ऋणात्मक होगा, अर्थात
` x = (A)/ ( 2 ) ` पर ` v = - ( sqrt (3k))/( 2 ) A ` .
जब त्वरण कण के स्थान x के फलन के रूप में दिया गया हो, तो इसी प्रकार से समीकरण हल कर सकते है | ` (dv ) /( dt ) ` को ` (dv)/(dx ) * ( dx) /( dt ) = v ( dv ) /( dt ) ` के रूप में लिखकर आगे की गणना करते है |