x -अक्ष पर चलते हुए एक कण का स्थान ` x = At ^ 3 + B t ^ 2 + Ct + D ` के अनुसार बदलता है | SI इकाइयों में A, B, C एवं D के सांख्यिक मान क्रमशः `1, 4, - 2 ` तथा 5 है | (a) A, B, C तथा D के विमीय - सूत्र निकले | (b) समय `t =4s ` पर कण का वेग निकालें | (c) ` t = 4s ` पर कण का त्वरण निकालें | (d ) ` t = 0 ` से ` t = 4s ` के अंतराल में कण का औसत वेग निकाले | (e) t = 0 से t = 4s के अंतराल में कण का औसत त्वरण निकालें |

Explanation

(a ) ` x, At ^ 3, Bt ^ 2 , Ct ` एवं D की विमाएँ समान होगी | चूँकि इस समीकरण का एक पद x है , इसलिए इन पदों में से प्रत्येक की विमा लम्बाई की विमा के बराबर होगी | अतः,
` [At^3] = L ` या ` [A] = LT^( - 3 ) `
`[Bt^ 2]=L ` या ` [B] = LT^( -2 ) `
` [Ct ] = L ` या ` [C] = LT ^( - 1 ) `
` [D] = L `
(b ) ` x = At^3 + Bt ^ 2 + Ct + D `
या ` v = (dx )/( dt ) = 3At ^2 + 2 Bt + C `
अतः , ` t = 4s ` पर कण का वेग,
` v = [3xx ( 1 ) xx (4 ) ^ 2 + 2 xx (4 ) xx ( 4 ) + ( -2 )] m//s `
` = ( 48 + 32 - 2 ) m//s = 78 m//s `
चूँकि सभी जगह SI इकाइयों में संख्याएँ लिखी गयी है, अंतिम परिणाम भी SI इकाई में मिलेगी | इसलिए v का मान m/s में होगा |
अतः, ` v = 78 m//s `
(c) ` v = 3At ^ 2 + 2 Bt + C `
या ` a = (dv )/( dt ) =6 At + 2B `
` t = 4s ` पर, ` a = [ 6 xx (1 ) xx ( 4 ) + 2 xx ( 4) ] m//s ^ 2 = 32 m//s ^ 2 `
(d ) ` x = At ^ 3 + Bt ^ 2 + Ct + D `
` t = 0` पर , ` x = D = 5m`.
` t = 4s ` पर, ` x = [ 1 xx ( 4 ) ^ 3 + 4 xx ( 4 ) ^ 2 + ( - 2 ) xx ( 4 ) + 5] m = 125 m `
t = 0 से t = 4s तक में कण का विस्थापन = ` 125 m - 5m `
` = 120 m `
अतः, इस अंतराल में कण का औसत वेग = ` (120 m ) /( 4s) = 30 m//s `
(e ) ` v = 3At^ 2 + 2 Bt +C `
` t = 0 ` पर, ` v _ 1 = C = -2 m// s `
` t = 4s ` पर, ` v_ 2 = [ 3 xx ( 1 ) xx ( 4 ) ^ 2 + 2 xx ( 4 ) xx (4 ) - 2] m//s = 78 m//s `
इस अंतराल में वेग में परिवर्तन
` v _ 2 - v _ 1 = (78 m//s ) - ( - 2 m//s ) = 80 m//s `
अतः, औसत त्वरण = ` ( 80 m//s )/(4s ) = 20 m//s ^ 2 `