एक पुलिस ऑफिसर जीप से एक पॉकेटमार का पीछा कर रहे है | जीप अपनी अधिकतम चल v से चल रह है | जब जीप पॉकेटमार से d दुरी पर थी, पॉकेटमार को अपना एक दोस्त मिल गया जो मोटरसाइकिल स्टार्ट कर उसकी प्रतीक्षा कर रहा था | पॉकेटमार को लेकर मोटरसाइकिल एकसमान त्वरण a से चल पड़ती है | (a) v, a तथा d में संबंध बताएँ ताकि ऑफिसर पॉकेटमार को पकड़ सके | (b) एक ही चित्र में जीप के लिए तथा मोटरसाइकिल के लिए ` x - t ` के ग्राफ खींचे यदि ` v gt sqrt ( 2ad ) ` हो | (c) एक अलग चित्र में जीप तथा मोटरसाइकिल के लिए ग्राफ खींचे यदि ` v lt sqrt ( 2ad ) ` हो |

Explanation

(a) मोटरसाइकिल स्टार्ट होनेवाले समय को ` t = 0 ` लें |
मान लें कि जीप मोटरसाइकिल को t समय पर पकड़ती है | इस अवधि में मोटरसाइकिल द्वारा चली गई दुरी ,
` s = ( 1 )/( 2 ) at ^ 2 " "`...(i)
इसी अवधि में जीप द्वारा चली गई दुरी ,
` s + d = vt " " ` ... (ii)
समीकरण (i ) तथा (ii ) से, ` ( 1 )/ (2 ) at ^ 2 + d = vt `
या ` at ^ 2 - 2vt + 2d = 0 ` या ` t = (v pm sqrt ( v ^ 2 - 2ad ))/ ( a ) ` ...(iii)
पॉकेटमार पकड़ा जाएगा यदि यह t वास्तविक (real ) तथा धनात्मक या शून्य हो |
(b) इसके लिए ` v ^ 2 gt 2ad ` या ` v gt sqrt ( 2ad ) `. एकसमान वेग v से चलनेवाली जीप के लिए ` x = vt ` . अतः ` x - t ` ग्राफ मूलबिंदु से गुजरनेवाली सरल रेखा होगी जिसकी प्रवणता v होगी |

मोटरसाइकिल के लिए , ` t = 0 ` पर ` x = d ` है | इसके बाद चली गई दुरी ` ( 1 ) /( 2 ) at ^ 2 ` है | अतः, ` x = d + ( 1 ) /( 2 ) at ^ 2 ` होगा | ` x = ( 1 )/ ( 2 ) at^ 2 ` मूलबिंदु से जानेवाला परवलय (parabola ) है | ऐसी ही परवलय मूलबिंदु से नहीं खींचकर y - अक्ष के (0, d ) बिंदु से खींचना होगा | चित्र में सरल रेखा की प्रवणता v इतनी अधिक है कि वह परवलय को दो बिंदुओं पर कटती है | इन कटान - बिंदुओं के समय ` t _ 1 ` तथा `t _ 2 ` है | चूँकि ` v gt sqrt ( 2ad ) ` है , समीकरण (iii) से t के दो धनात्मक मान मिलेंगे | यही मान ` t _ 1 ` तथा ` t _ 2 ` है | मोटरसाइकिल जीप को ` t _ 1 ` समय पर पकड़ लेगी |
समय ` t _ 2 ` का क्या अर्थ है ? यदि ` t _ 1 ` समय के बाद भी मोटर - साईकिल और जीप उसी प्रकार चलती रहे, तो ` t _ 1 ` समय के बाद जीप आगे निकल जाएगी और मोटरसाइकिल पीछे रह जायेगी | पर, मोटरसाइकिल की चाल लगातार बढ़ती जा रही है और यह जीप को फिर से पार कर लेगी | यह समय ` t _ 2 ` है |
(c) यदि v का मान `sqrt (2ad ) ` से कम हो, तो जीप की ` x = vt ` वाली सरल रेखा, मोटरसाइकिल के परवलय से नीचे ही रह जायेगी और किसी भी समय पर जीप मोटरसाइकिल को नहीं पकड़ पाएगी |