एक कार एकसमान वेग 40 km/h से एक सीधी सड़क पर चल रही है | सड़क एक बड़ी दीवार तक जाती है जहाँ वह `90^@ ` पर मुद जाती है | जब कार दीवार से 20 km दूर है, एक मक्खी दीवार से कार की ओर उड़ना प्रारम्भ करती है | वह मक्खी कार से शीशे तक पँहुचती है और वह पलटकर पुनः दीवार की ओर चल पड़ती है | दीवार पर पँहुचकर मक्खी फिर पलट जाती है और कार की ओर चल पड़ती है | दीवार और कार के बिच वह तब तक पड़ती है जब तक कि कार दीवार तक पँहुच नहीं जाती | मक्खी की चाल पुरे रास्ते में एकसमान 100 km/h माने तथा पलटने के समय को नगण्य माने |
(a) मक्खी ने कुल कितनी दुरी तय की ?
(b) मक्खी ने कुल कितनी बार दीवार से कार और कार से दीवार की यात्रा की ?

Explanation

(a) 20 km की दुरी तय करने में कार में लगा समय
` = ( 20 km ) /( 40 km//h ) = ( 1 ) /( 2 ) h `.
मक्खी एकसमान चाल 100 km/h से उड़ती है | इसलिए मक्खी द्वारा तय की गई दुरी
` = 100 (km) /( h ) xx ( 1 )/( 2 ) h = 50 km `
(b) मान लिया कि मक्खी अपनी यात्रा के दौरान किसी समय दीवार पर है और इस समय कार दीवार से x दुरी पर है | मक्खी कार के शीशे तक t समय में पँहुचती है |

तब AB = (40 km/h) t तथा OB = (100 km/h ) t.
अतः ` x = AB + OB = (140 km/h ) t `
या ` t = ( x )/( 140 km//h ) `
या ` OB = (100 km//h) ( x )/( 140 km//h) = (5 ) /(7 ) x `.
मक्खी के वापस दीवार तक पँहुचने में लगा समय
` = ( 5x//7 ) /( 100 (km//h))= ( x ) /( 140 km//h ) `.
इतनी देर में कार B से चलकर C तक पँहुचती है , तो
`BC = (40 km//h) xx ( x ) /( (140 km//h)) = ( 2 )/( 7 ) x `.
अतः मक्खी जब एक चक्कर पूरा कर दीवार तक पँहुचती है , तो कार की उससे दुरी
` OC = OB -BC = (5 ) /(7 ) x - ( 2 ) /( 7 ) x = (3 )/(7 ) x `.
अतः, किसी चक्कर के प्रारम्भ में यदि कार की दुरी दीवार से x हो, तो अगले चक्कर के प्रारम्भ में कार की दुरी दीवार से ` ( 3 ) /( 7 ) x ` होगी |
पहले चक्कर के प्रारम्भ में दीवार एवं कार की दुरी = 20 km
दूसरे चक्कर के प्रारम्भ में दीवार एवं कार की दुरी = ` 20 km xx ( 3 )/( 7 )`.
तीसरे चक्कर के प्रारम्भ में दीवार एवं कार की दुरी
` = 20 km xx (( 3 ) /( 7))^ 2 `
चौथे चक्कर के प्रारम्भ में दीवार एवं कार की दुरी
` = 20 km xx ((3 )/( 7 ))^ 3 `
इसी तरह n वे चक्कर के प्रारम्भ में दीवार एवं कार की दुरी
` = 20 km xx ((3 )/(7))^(n - 1 ) `
ये चक्कर तब तक चलते रहेंगे जब तक कि यह दुरी शून्य न हो जाए | पर यह शून्य तभी होगा जब n अनंत हो जाए, अर्थात मक्खी दीवार से कार और कार से दीवार तक के अनंत चक्कर लगाएगी |
इस प्रश्न में हमने गणित का अधिक अभ्यास किया है | मक्खी का आकर, पलटने में लगनेवाला समय आदि अनेक ऐसी बाते है जो हमने पूरी तरह भुला दी है | इसीलिए हमे उत्तर के रूप में अनंत चक्कर मिला है |