चित्र 9 .W4 में दिखये गए गुटकों के बीच घर्षण गुणांक ` mu ` है | टेबुल घर्षणरहित है|M द्रव्यमान वाले गुटके पर अधिकतम कितना क्षैतिज बल F लगाया जा सकता है ताकि दोनों गुटके साथ-साथ चल सकें?

Explanation

पहली विधि- दोनों गुटके साथ- साथ चलते है, इसलिए हम इन दोनों को मिलाकर एक सहित मान सकते है| इसपर लगते बल है,
(i) भार ` (M+ m ) g.` निचे की और,
(ii ) टेबुल द्वारा अभिलम्ब बल ` N_1` ऊपर की और,
(iii) मनुष्य द्वारा F दाहिनी और| चूँकि टेबुल घर्षणरहित है, टेबुल द्वारा एक संहित पर कोई घर्षण बल नहीं लगता| दोनों गुटके आपस में एक-दूसरे पर अभिलम्ब तथा घर्षण के बल लगा रहे है,पर इन बलों को हम बलों की सूचि में नहीं रख सकते है, क्योंकि ये बल संहित के अंदर से एक-दूसरे पर लग रहे है| यदि दोनों गुटके a त्वरण से आगे की और चल रहे हो, तो न्यूटन के गति-नियम से,
` " " F=(M+m )a `
या ` " " a= (F)/( M+m ) " "...(i) `
अभिलम्ब बल ` N_1` संहित के भार ` (M+m) g ` के बराबर होगा, क्योंकि ऊर्ध्वाधर दिशा में कोई गति नहीं हो रही है|
` (##HCV_HIN_PHY_COP_C09_SLV_004_S01.png" width="80%">
अब सिर्फ ऊपर वाले गुटके को अपनी संहित मानें| इसका द्रव्यमान m है तथा यह दाहिनी और a त्वरण से चल रहा है| इसपर लगते बल है
(i) भार mg
(ii ) निचे वाले गुटके द्वारा क्षैतिज दिशा में घर्षण बल f
यह घर्षण स्थितिज घर्षण है, क्योंकि गुटके एक-दूसरे पर नहीं फिसलती|
ऊर्ध्वाधर दिशा में गति-नियम लगाने पर,
` " " N_2 =mg ." "(ii) `
क्षैतिज दिशा में में गति-नियम लगाने पर,
` " "f= ma =m.(F)/(M+m) `
चूँकि हम F के अधिकतम मान को लिख रहे है,
` " " f= mu N_2 `
या ` " "mu N_2 =(mF)/( M+ m ) `
समीकरण (ii ) का उपयोग करने पर
` " " mu mg =( mF)/( M+m) `
या ` " "F=mu (M+m) g.`
दूसरी विधि- यदि आप चाहें तो दोनों गुटको को अलग- अलग संहित मानकर भी F का मान निकल सकते है| ऊपर वाले गुटके के लिए समीकरण है|
` " " f =ma " "(i) `
तथा ` " "N_2 =mg." "(ii) `
सीमांत घर्षण होने के कारण
` " " f= mu N_ 2 =mu mg. " "(iii) `
अब समीकरण (i ) एवं (iii ) से
` " " mu m g=ma `
या ` " " a=mu g " "(iv )`
अब निचे वाले गुटके को संहित मानें|
चूँकि निचे वाला गुटका ऊपर वाले दाहिनी और घर्षण बल f बायीं और लगा रहा है, ऊपर वाला गुटका निचे वाले पर घर्षण बल f बायीं और लगयागा| यह न्यूटन के तीसरे गति- नियम के कारण है| इसी तरह ऊपर वाला गुटका इसपर निचे की और ` N_2` अभिलम्ब बल लगाएगा| निचे वाले गुटके पर लगे बल में दिखाए गए है|
` (##HCV_HIN_PHY_COP_C09_SLV_004_S02.png" width="80%">
ये बल है
(i) mg निचे की और,
(ii ) `N_2` निचे की और, दूसरे गुटके अभिलम्ब बल,
(iii ) `N_1` ऊपर की और, टेबुल के द्वारा
(iv) ` f_= mu N_2` बायीं तरफ ऊपर के गुटके द्वारा,
(v ) F दाहिनी और, मनुष्य द्वारा|
न्यूटन गति- नियम से,
` " " F- mju N_2 =Ma `
समीकरण (ii ) से ` F- mumg =Ma `
समीकरण (iv ) से, ` F- mu mg =mu mg `
अतः ` F= mu (M+m ) g.`