एक अचल त्रिभुजाकार ब्लॉक पर दो गुटके स्थित है| ये गुटके ब्लॉक पर लगी एक घिरनी एक घिरनी पर से होकर जाती है डोरी से बँधे है| प्रत्येक गुटके तथा ब्लॉक के बीच स्थितिज घर्षण गुणांक 0.28 तथा गतिज घर्षण गुणांक `0.25` है|

(a) द्रव्यमान m का न्यूनतम और अधिकतम मान निकालें ताकि गुटके स्थिर रहे| मान लें की इन दोनों स्थितियों में दोनों गुटकों पर सीमांत घर्षण लग रहे है|
(b) यदि m का मान न्यूनतम के बराबर रखा जाये और 2 kg के गुटके को धीरे से सतह पर निचे की और जरा-सा चलाकर छोड़ दिया जाए, तो गुटकों के त्वरण का परिमाण निकालें|

Explanation

(a ) जब m अपने न्यूनतम मान पर है तब 2kg का गुटका निचे की और तथा m द्रव्यमान वाला गुटका ऊपर की और फिसलने की प्रवृति रखेगा|
2kg के गुटके पर लगते बल में दिखाए गए है| यहाँ M =2kg है| चूँकि गुटका स्थिर है ,उसपर लगनेवाले सभी बलों का योग शून्य होगा|
` (##HCV_HIN_PHY_COP_C09_SLV_011_S01.png" width="80%">
सतह के लंबवत घटक लेने पर,
` " "N=Mcos45^(@) =(Mg)/(sqrt(2))`
सतह के समांतर घटक लेने पर
` " "T+ f= Mg sin 45^(@) =(Mg)/(sqrt(2))`
या ` " "T+ mu_s N=( Mg)/( sqrt(2))`
या ` " "T=(Mg)/(sqrt(2)) (1-mu_s ) " "...(i) `
अब m द्रव्यमान वाले गुटके को देखे| इसपर लगते बल में दिखाय गए है|
सतह के लंबवत घटक लेने पर
` " "N'=mg cos 45^(@) =(mg)/( sqrt(2))`
सतह के समानांतर घटक लेने पर
` T= mg sin 45^(@) + f'=(mg)/(sqrt(2))+ mu _s N' =(mg)/( sqrt(2) ) +mu_s (mg)/(sqrt(2))`
या ` T= (mg)/( sqrt(2)) (1+ mu_s)" "...(ii)`
समीकरण (i ) तथा (ii )से
` " "m( 1+mu_s) =M (1-mu_s) " "...(iii)`
या ` " "m=( 1-mu_s)/(1+mu_s) M=(1-0.28)/(1+ 0.28) xx2kg =( 9)/(8) kg .`
गुटकों को संतुलन में बनाये रखने के लिए तथा m का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए हम समीकरण (iii ) में ही `mu_ s =- 0.28` रख सकते है| ऐसा इसलिए की अधिकतम m रखने पर यह गुटका नीचे की और तथा 2kg का गुटका ऊपर की और सरकने का प्रयास करेगा| अतः दोनों जगह सीमांत घर्षण की दिशाएं उल्ट जाएँगी| गणित करने में ` mu_s ` का चिन्ह बदलने से इस स्थिति के समीकरण मिल जाते है|
अतः ` m=(1+mu_s) /(1-mu_s)M =( 1+ 0.28)/( 1-0.28) xx 2kg =(32)/(9) kg .`
(b) अब `m= (9)/(8) kg ` लिया गया है और 2kg के गुटके को नीचे की और चलाकर छोड़ दिया गया है| अब गतिज घर्षण काम करेंगे| यदि त्वरण का मान a हो तो
` " "Mg sin 45^(@) -T -f =Ma `
या ` " "(Mg)/(sqrt(2)) -T -( mu_kMg)/( sqrt(2)) =Ma" "...(iv) `
तथा चित्र से
` " "T -mg sin 45^(@) -f =ma `
या ` " "T-(mg)/(sqrt(2))-mu_k (mg)/(sqrt( 2)) =ma " "...(v) `
समीकरण (iv ) तथा (v ) को जोड़ने पर,
` (Mg)/(sqrt(2)) (1-mu_k) -(mg)/(sqrt(2)) (1+ mu_k) =(M+m) a `
या ` a =( M( 1-mu_k) -m (1+mu_k ))/( sqrt(2) (M +m) ) g `
` " " = (2xx0.75-(9)/(8) xx1.25)/( sqrt(2) (2+ (9)/(8))) g `
` " "= 0.31m//s^(2) `