धातु के तार का बना m द्रव्यमान तथा R त्रिज्या वाला एक छल्ला घर्षणरहित, क्षैतिज तल पर अपने अक्ष के परितः घूम रहा है। छल्ले के हर भाग की चाल v है। छल्ले के तार में तनाव बताएँ।

Explanation

चित्र 10.W9 में छल्ले का एक हिस्सा ACB दिखाया गया है, जो केन्द्र पर `Deltatheta` (रेडियन में) कोण बना रहा है। मान ले कि तार में तनाव T है। ACB हिस्से पर लगते बल है,
A के बायीं ओर के हिस्से के तार के द्वारा तनाव बल T, A पर स्पर्शरेखा की ओर,
(b) B के दाहिनी ओर के हिस्से के तार के द्वारा तनाव बल T ,B पर स्पर्शरेखा की ओर,
(c) ACB का भार `(Deltam)g,` नीचे की ओर तथा
(d) टेबुल द्वारा अभिलंब बल N ऊपर की ओर।

ACB भाग छल्ले के अनुदिश R त्रिज्या वाले वृत्त में एकसमान चाल से चल रहा है, अतः इसका त्वरण केंद्र की ओर `v^(2)//R` होगा। त्रिज्या CO की ओर सभी बलों के घटक लेकर न्यूटन के गति का दूसरा नियम लगाने पर,
`Tcos((pi)/(2)-(Deltatheta)/(2))+Tcos((pi)/(2)-(Deltatheta)/(2))=(Deltam)(v^(2))/(R)`
या `2Tsin""(Deltatheta)/(2)=(Deltam)(v^(2))/(R)." ".......(i)`
भाग ACB की लंबाई `=RDeltatheta`
पुरे छल्ले की लंबाई `=2piR` तथा उसका द्रव्यमान = m
अतः, ACB का द्रव्यमान `Deltam=((RDeltatheta))/(2piR).m=(Deltatheta)/(2pi)m`
समीकरण (i) से, `2Tsin""(Deltatheta)/(2)=(Deltatheta)/(2pi).(mv^(2))/(R)`
या `T=(Deltatheta//2)/(sin(theta//2)).(mv^(2))/(2piR)" "......(ii)`
हमने ACB को एक कण मानते हुए न्यूटन के गति का नियम लिखा है। किन्तु ACB के सभी हिस्से एक ही वेग से नहीं चल रहे है। ACB को एक कण मानकर समीकरण लिखना पूरी तरह ठीक नहीं होगा। पर, यदि `Deltatheta` को बहुत छोटा लिया जाए, तो समीकरण (ii) से तनाव का मान मिल सकता है।
पर `Deltatheta` के बहुत छोटा होने पर, `(Deltatheta//2)/(sin(Deltatheta//2))~-1`
अतः, `T=(mv^(2))/(2piR)`.