क्षैतिज सड़क पर `a_(0)` त्वरण से जाती एक कार की छत से `l` लम्बाई का एक सरल दोलक लटकाया गया है। अपनी मध्यस्थिति के प्रति छोटे दोलनों के लिए इसका आवर्तकाल निकालें।

Explanation

कार के फ्रेम से इस दोलक की गति की विवेचना करें। भार mg तथा डोरी के तनाव T के अतिरिक्त बॉब पर पीछे की और `ma_(0)` परिमाण का छझ बल भी हमें लेना होगा। बॉब पर लगते इस सभी बलों को चित्र 22.W2 में दिखाया गया है।

मान लें की साम्यावस्था में डोरी ऊर्ध्वाधर से कोण बनाती है [चित्र] लटकन-बिंदु के प्रति बल आघूर्ण लेने पर, कुल बल आघूर्ण,
`mgl sin theta_(0)-ma_(0) l cos theta_(0)=0` ...(i)
या `tan theta_(0)=a_(0)/g` ...(ii)
यदि डोरी को इस साम्यावस्था से एक छोटा कोणीय विस्थापन `theta` दिया जाए, तो डोरी का ऊर्ध्वाधर से कोण `theta_(0)+theta` हो जाएगा [चित्र] ऐसी स्थिति में कुल बल आघूर्ण,
`tau = mgl sin (theta_(0)+theta)-ma_(0)l cos (theta_(0)+theta)`
`=mgl(sin theta_(0) cos theta+sin theta cos theta_(0))-ma_(0)l(cos theta_(0) cos theta- sin theta_(0) sin theta)`.
`theta` के छोटे मानों के लिए `sin theta cong theta` तथा `cos theta cong 1` ले सकते हैं। अतः,
`tau=mgl sin theta_(0)+mgl theta cos theta_(0) -ma_(0) l cos theta_(0)+ma_(0) l theta sin theta_(0)`.
समीकरण (i) का उपयोग करने पर,
`tau=(mgl cos theta_(0)+ma_(0)l sin theta_(0))theta`,
कोणीय त्वरण `alpha=tau/I=1/(ml^(2)) (mgl cos theta_(0)+ma_(0) l sin theta_(0))theta`
`=omega^(2) theta`,
जहाँ `omega^(2)=(g cos theta_(0)+a_(0) sin theta_(0))/l`
`=sqrt(g^(2)+a_(0)^(2))/l` [(ii) से]
यह बल आघूर्ण कोणीय विस्थापन के विपरीत है तथा इसके समानुपाती है। अतः, दोलक कार के फ्रेम से कोणीय सरल आवर्त गति करेगा, जिसका आवर्तकाल
`=(2pi)/omega=2pi [l/sqrt(g^(2)+a_(0)^(2))]^(1//2)`
इसे हम एक और प्रकार से भी समझ सकते हैं। कार के फ्रेम में mg तथा `ma_(0)` का परिणाम ही प्रभावी भार `mg_(eff)` की तरह काम करेगा। अतः, आवर्तकाल,
`T=2pi sqrt(l/g_(eff))=2pi [l/sqrt(g^(2)+a_(0)^(2))]^(½)`