सिद्ध कीजिए कि `sqrtn` एक परिमेय संख्या नहीं है, यदि n एक पूर्ण वर्ग नहीं है।

Explanation

यदि सम्भव है तो माना कि `sqrtn` एक परिमेय संख्या है तब परिमेय संख्या की परिभाषा द्वारा, हल लिख सकते हैं, कि
`sqrtn=(p)/(q)" ...(1)"`
जहाँ p और q का कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है ( `pm1` को छोड़कर )
समी० (1 ), से, `" "n=(p^(2))/(q^(2))`
अर्थात `" "p^(2)=nq^(2)" ...(2)"`
`rArr" "n,p^(2)` का एक गुणनखण्ड है। अर्थात n , p का एक गुणनखण्ड है। `" ...(3)"`
तब हम लिख सकते हैं कि `p = nm `
`rArr" "p^(2)=n^(2)m^(2)`
यह मान (2 ) में रखने पर
`n^(2)m^(2)=nq^(2)`
`rArr" "q^(2)=mn^(2)`
`rArr" "n,q^(2)` का एक गुणनखण्ड है । अर्थात n , p का एक गुणनखण्ड है। `" ...(4)"`
(3 ) और (4 ) के प्रयोग से हम देखते हैं कि n , p और q का उभयनिष्ठ गुणनखण्ड है। जो कि इस कथन के विपरीत है कि p और q का कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है। इस प्रकार हमारा पूर्वानुमान गलत है। अतः `sqrtn` एक परिमेय संख्या नहीं है।