सिद्ध कीजिए कि `root3(6)`एक परिमेय संख्या नहीं है।

Explanation

माना यदि सम्भव है कि `root3(6)` एक परिमेय संख्या है।
तब परिभाषा द्वारा, इसे निम्न रूप में लिख सकते हैं,
`root3(6)=(p)/(q)" "(q ne0)`
`rArr" "(p^(3))/(q^(3))=6" ...(1)"`
चूँकि `" "1^(3)=1, 2^(3)=8`
इसलिए `" "1 lt 6 lt 8," अर्थात "1 lt (p^(3))/(q^(3)) lt 8" "rArr" "1lt(p)/(q)lt2`
समी० (1 ), से यहाँ है, `(p^(3))/(q^(3))=6" "rArr" "6q^(2)=(p^(3))/(q)" ...(2)"`
चूँकि q , एक पूर्णांक है, इसलिए `6q^(2)` भी एक पूर्णांक है।
परिमेय संख्या की परिभाषा द्वारा p तथा q को `pm1` छोड़कर कोई उभयनिष्ट गुणनखण्ड नहीं है।
`therefore p^(3)` तथा q का कोई उभयनिष्ट गुणनखण्ड नहीं है । अर्थात `p^(3)//q` एक भिन्न है जो कभी भी 6 (एक पूर्णांक ) के बर्बर नहीं हो सकती है। जो कथन के विपरीत है । इस प्रकार हमारा पूर्वानुमान गलत है । अतः `root3(6)` एक परिमेय संख्या नहीं है।