गुणनखंड प्रमेय का प्रयोग करके, बहुपद `x^(4)+4x^(3)-x^(2)-16x-12` के गुणनखंड ज्ञात कीजिए।

Explanation

माना `f(x)=x^(4)+4x^(3)-x^(2)-16x-12` ...(1)
यहाँ अचर पद `=-12`
इसके गुणनखंड `pm1, pm2, pm3, pm4, pm6, pm12` है।
अब `f(1)=(1)^(4)+4(1)^(3)-(1)^(2)-16(1)-12=1+4-1-16-12 ne 0`
`f(-1)=(-1)^(4)+4(-1)^(3)-(-1)^(2)-16(-1)-12=1-4-1+16-12 =0`
इसलिए `(x+1)`, बहुपद `f(x)` का गुणनखंड है।
`f(2)=(2)^(4)+4(2)^(3)-(2)^(2)-16(2)-12=16+32-4-32-12=0`
इसलिए गुणनखंड प्रमेय से `(x -2), f (x)` का एक गुणनखंड है।
अब `f(-2)=(-2)^(4)+4(-2)^(3)-(-2)^(2)-16(-2)-12`
`=16-32-4+32-12=0`
`implies (x+2), f(x)` का एक गुणनखंड है।
इसी प्रकार, `f(3)=(3)^(4)+4(3)^(3)^(2)-16(3)-12`
`=81+108-9-48-12 ne 0`
तथा `f(-3)=(-3)^(4)+4(-3)^(3)-(-3)^(2)-16(-3)-12`
`=81-108-9+48-12=0`
`implies (x+3), f(x)` का एक गुणनखंड है।
`:' f(x)` एक चार घात का बहुपद है इसके अधिकतम चार रैखिक गुणनखंड होंगे।
अब `f(x)=k(x+1) (x+2) (x-2) (x+3)` ....(2)
`implies x^(4)+4x^(3)-x^(2)-16x-12=k(x+1) (x-2) (x+2) (x+3)`
दोनों और `x = 0` रखने पर
`-12=k(0+1) (0-2) (0+2) (0+3)` या `-12k=-12`
`implies k=1`
समी० (2) में k = 1 रखने पर
`x^(4)+4x^(3)-x^(2)-16x-12=(x+1) (x+2) (x-2) (x+3)`