सिद्ध कीजिए की किसी आयत की क्रमिक भुजाओं के युग्मों के मध्य बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखण्ड से बना चतुर्भुज एक समचतुर्भुज होता है ।

Explanation

दिया है एक आयत `ABCD` जिसमे `P,Q,R` व S क्रमशः`AB,BC,CD` व `DA` के मध्य बिन्दु है।
सिद्ध करना है `PQRS` एक समचतुर्भुर्ज है।
रचना `AC` को मिलायें
उत्पत्ति त्रिभुज `ABC` में P व Q क्रमशः भुजाओं `AB` व `BC` के मध्य बिन्दु है।
`:.PQ||AC" " PQ =(1)/(2)AC " "....(1)`
`DeltaABC` में `R` व S क्रमशः `CD` व `AD` के मध्य बिन्दु है।
`:. SR||AC` व `SR=(1)/(2)AC" "...(2)`
समीकरण (1) व (2) से ltbr `PQ||SR` व `PQ=SR " "...(3)`
`rArr PQRS` एक समान्तर चतुर्भुर्ज है।
`:.ABD` एक आयत है

`rArr AD=BC`
`rArr (1)/(2)AD =(1)/(2)BC`
`rArr AS=BQ " "......(4)`
`DeltaAPS ` और `DeltaBPQ` में
`AP=BP " " [ :. P,AB` का मध्यु बिन्दु है]
`anglePAS=anglePBQ " " `[ प्रत्येक `90^(@)`]
व `AS=BQ" "` [समीकरण (4) से]
`DeltaAPS~=DeltaBPQ" "` [ SAS सर्वांगसमता से]
`rArr PS=PQ`
समीकरण (3) व (4) से `PQRS` के समान्तर चतुर्भुर्ज इस प्रकार है की `PS=PQ` अथार्त इसकी संग्लन भुजाएँ सामान है। अतः `PQRS` एक समचतुर्भुर्ज है।