सिद्ध कीजिए की किसी वर्ग की क्रमिक भुजाओं के युग्मों के मध्य बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखण्ड से बना चतुर्भुज भी एक वर्ग होता है।

Explanation

दिया है की वर्ग `ABCD` जहाँ `P,Q,R,S` क्रमशः `AB,BC,CD` व `DA` के मध्य बिन्दु है।
सिद्ध करना है: `PQRS` एक वर्ग है।
उत्पत्ति `DeltaABC` में P व Q क्रमशः`AB` व `BC` मध्य बिन्दु है।
`:. PQ||AC` व `PQ=(1)/(2)AC" "...(1)`
`DeltaADC` में, R व S क्रमशः `CD` व `AD` के मध्य बिन्दु है।
`:.RS||AC` व `RS=(1)/(2)=AC" "....(2)`

समीकरण (1) व (2) से
`PQ||RS` व `PQ=RS" "...(3)`
`:. PQRS` एक समान्तर चतुर्भुर्ज है।
अब `DeltaPBQ` व `DeltaRCQ` में
`PB=RC [ :. ABCD` एक वर्ग है `AB=BC=CD=DA]`
`BQ=CQ`
`rArr (1)/(2)AB=(1)/(2)CD` व `(1)/(2)AB=(1)/(2)BC`
`rArr PB=RC` व ` BQ=CQ`
`:.anglePBQ=angleRCQ " "` [ प्रत्येक `90^(@)`]
`:. DeltaPBQ~=DeltaRCA" "` [ SAS सर्वांगसमता से]
`:. PQ=QR " " [ CPCT] " "....(4)`
समीकरण (3) व (4) से
`PQ=QR=RS`
लेकिन `PQRS` एक समान्तर चतुर्भुर्ज है ।
`:. QR=PS`
इसलिए `PQ=QR=RS=PS " "....(5)`
अब `PQ||AC rArr PM||NO " "...(6)`
क्योकिं P व S क्रमशः `AB` व `AD` के मध्य बिन्दु है।
`:.PS||BD`
`:. PM||MO " "....(7)`
इसलिए चतुर्भुर्ज `PMNO` में,
`PM||NO " " ` [ समीकरण (6) से]
`PN||MO " " ` समीकरण (7) से]
`:.PMNO` के समान्तर चतुर्भुर्ज है।
`:. angleMNP= angleMON`
`rArr angleMNP=angleBOA`
`rArr angleMNP=90^(@)`
[ `:.` वर्ग के विकर्ण पास्पर लंबवत होते है `AC bot BD rArr angle BOA =90^(@)]`
`rArr angleQPRS=90^(@)`
अतः `PQRS` एक चतुर्भुर्ज इस प्रकार है की `PQ=QR=SP` व `angleQPRS=90^(@)`
`:. PQRS` एक वर्ग है।