त्रिभुज `ABC` में भुजा AB को बिन्दु M व N तीन बराबर भागों में बाँटते है। रेखाखण्ड MP व NQ दोनों BC के समान्तर है और AC को क्रमशः P तथा `Q` पर मिलते है। सिद्ध कीजिए की P व Q भुजा AC को तीन बराबर भागो में बांटते है।

Explanation

दिया है एक त्रिभुज ABC जिसमे M व N,AB पर दो बिन्दु इस प्रकार है की `AM=MN=NB` रेखाखण्ड `MN व `NQ दोनों BC के समान्तर है।
सिद्ध करना है `AP=PQ=QC`
उपपत्ति `DAE||BC` तथा MP व NQ दोनों BC के समान्तर है। इसलिए `DE,MP` व `NQ` तीनों समान्तर रेखाएँ है। तिर्यक रेखा समान्तर रेखाओं `DE,MP` व `NQ` पर क्रमशः `A,M` व N प्रतिच्छेद करती है तथा `AM=MN` (दिया है)
इसलिए इन तीनों रेखाओं `DAE,MP` व `NQ` द्वारा तिर्यक रेखा पर बने अन्तः खण्ड परस्पर होंगे अथार्त
`AP=PQ " "...(1)`
अब तीन रेखाएँ `MP,NQ` व `BC` ले |
`:.` तिर्यक रेखा `AB` समान्तर रेखाओं `MP,NQ` व `BC` पर क्रमशः `M,N` व `B` इस प्रकार प्रतिच्छेद करती है की `MN=NB`

इसलिए इन तीनों समान्तर रेखाओं `MP,NQ` व `BC` से तिर्यक रेखा `AC` पर बने अन्तः खण्ड बराबर होंगे
अथार्त `PQ=QC" "`....(2)`
समीकरण (1) व (2) से
`AP=PQ=QC`