निर्धारित कीजिये कि क्या निम्नलिखित संबंधो में प्रत्येक स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है। किसी विशेष समय में किसी नगर के निवासियों के समुच्चय A में निम्नलिखित संबध R है-
(i) R = {(x, y) : x तथा y एक ही स्थान पर कार्य करते है}
(ii) R = {(x,y) : x,y के पिता है}

Explanation

(i) R = {(x,y) : x तथा y एक ही स्थान पर कार्य करते है}
स्वतुल्यता: यदि `x in A` और x एक ही स्थान पर कार्य करते है।
`rArr (x,x) in R`
`rArr (y,x) in R`
`:. R` स्वतुल्य है।
सममितता: माना `x,y in A` तब `(x,y) in R rArr x` तथा y एक ही स्थान पर कार्य करते है।
`rArr` y तथा x एक ही स्थान पर कार्य करते है।
`rArr (y,x) in R`
`:.` R सममित है।
संक्रामकता: माना `x,y,z in A`, तब `(x,y) in R rArr x` और y एक ही स्थान पर कार्य करते है।
और `(y,z) in R rArr y` और z एक ही स्थान पर कार्य करते है। `rArr x` और z एक ही स्थान पर कार्य करते है।
`rArr (x,z) in R`
`:. R` संक्रामक है।
(ii) R = {(x,y) : x, y के पिता है}
स्वतुल्यता: `(x,x) in R AA x in A` क्योकि कोई भी x स्वयं का पिता नहीं हो सकता है।
`:. R` स्वतुल्य नहीं है।
सममितता: यदि `(x,y) in R`, जहाँ `AAx,y in A`
`rArr x,y` का पिता है।
`rArr y,x` के पिता नहीं हो सकते है।
`rArr (y,x) notin R`
`:. R` सममित नहीं है।
संक्रामकता: माना `x,y,z in A` तब `(x,y) in R rArr x,y` का पिता है। और `(y,z) in R rArr y,z` का पिता है।
`rArr x,z` के पितामह है।
`rArr x,z` के पिता नहीं है।
`rArr (x,z) notin R`
`:.` R संक्रामक नहीं है।