माना T किसी समतल में स्थित समस्त त्रिभुजों का एक समुच्चय है। समुच्चय T में R = {`(T_(1),T_(2)): T_(1),T_(2)` के सर्वांगसम है} एक संबंध है। सिद्ध कीजिये कि R एक तुल्यता संबंध है।

Explanation

दिया गया संबंध है:

`R =` {`(T_(1), T_(2)): T_(1) T_(2)` के सर्वांगसम है तथा `T_(1), T_(2) in T` जहाँ T समतल में स्थित त्रिभुजों का समुच्चय है।

आइए आगे स्वतुयता, सममितता व संक्रामकता की जाँच करते है -

स्वतुल्यता :
माना, `T_(1), T` में स्वेच्छ त्रिभुज है, तब `T_(1)` स्वयं के सर्वांगसम है क्योकि प्रत्येक त्रिभुज स्वयं के सर्वांगसम होते है।

`rArr (T_(1), T_(1)) in R`

`:. R, T` में स्वतुल्य है।

सममितता:
माना, `T_(1), T_(2) in T` इस प्रकार है कि,

`(T_(1), T_(2)) in R`

`rArr T_(1), T_(2)` के सर्वांगसम है।

`:.` `rArr T_(2), T_(1)` के सर्वांगसम है।

`rArr (T_(2), T_(1)) in R`

`:.` `R, T` में सममित है।

संक्रामकता:
माना, `T_(1), T_(2), T_(3) in T` इस प्रकार है कि,

`(T_(1), T_(2)) in R` और `(T_(2), T_(3)) in R`

तब, ` T_(1), T_(2)` के सर्वांगसम है और `T_(2), T_(3)` के सर्वांगसम है।

अतः ` T_(1), T_(3)` के सर्वांगसम है।

`rArr(T_(1), T_(3)) in R`

`:. R, T` में संक्रामक है।

चूँकि संबंध R स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है अत: R एक तुल्यता संबंध है।