सिद्ध कीजिए कि किसी समतल में स्थित बिन्दुओ के समुच्चय में, R {(P,Q) : बिंदु P कि मूलबिंदु से दुरी, बिंदु Q कि मूलबिंदु से दुरी के समान है} द्वारा प्रदत्त संबंध R एक तुल्यता संबंध है। पुन: सिद्ध कीजिए कि बिंदु `P != (0,0)` से संबंधित सभी बिन्दुओ का समुच्चय P से होकर जाने वाले एक ऐसे वृत्त को निरूपित करता है, जिसका केंद्र मूलबिंदु पर है।

Explanation

माना O समतल में मूलबिंदु है, तब संबंध R समतल में इस प्रकार परिभाषित है कि
`R = {(P, Q) : OP = OQ}`
स्वतुल्यता: प्रत्येक बिंदु `P in A` के लिए,
`OP = OP`
`rArr (P, P) in R AA P in A`
`:.` R, A में स्वतुल्य है।
सममितता: माना `P, Q in A` ऐसा है कि `(P, Q) in R`, तब
`(P, Q) in R`
`rArr OP = OQ`
`rArr OQ = OP`
`rArr (Q,P) in R AA P, Q in A`
`:.` R, A में सममित है।
संक्रामकता: माना `P, Q, T in A` ऐसा है कि `(P, Q) in R` और `(Q,T) in R` तब
`(P, Q) in R` और `(Q, T) in R`
`rArr OP = OQ` और `OQ = OT`
`rArr OP = OT`
`rArr (P,T) in R AA P, Q, T in R`
`:. R, A` में संक्रामक है।
अत: R,A में एक तुल्यता संबंध है।
द्वितीय भाग: माना B समतल में `P != O` से संबंधित बिन्दुओ का समुच्चय है।

`:. B = {Q in A : (P, Q) in R}`
`= {Q in A : OP = OQ}`
= {`Q in A : Q` बिंदु P से होकर जाने वाली और O केंद्र वाले वृत्त में स्थित है}