सिद्ध कीजिए कि `N xx N` में परिभाषित संबंध `(a,b) R (c,d) hArr a + d = b + c` सभी `(a,b), (c,d) in N xx N` के लिए एक तुल्यता संबंध है।

Explanation

स्वतुल्यता: माना `(a,b) in N xx N`, तब
`(a,b) in N xx N`
`rArr a in N` और `b in N`
`rArr a + b = b + a`,
[N में योगात्मक क्रमविनिमेय नियम से]
`rArr (a,b) R (a,b)`
अत: `(a,b) R (a,b) AA (a,b) in N xx N`
`:.R, N xx N` पर स्वतुल्य है।
सममितता: माना `(a,b), (c,d) in N xx N` ऐसा है कि `(a,b) R (c,d)`, तब
`(a,b) R (c,d)`
`rArr a + d = b + c`
`rArr c + d = d + a`,
[N में योगात्मक क्रमविनिमेय नियम से]
`rArr (c,d) R (a,b)`
अत `(a,b) R (c,d) rArr (c,d) R (a,b) AA (a,b), (c,d) in N xx N`
`:. R, N xx N` पर सममित है।
संक्रामकता: माना `(a,b), (c,d), (e,f) in N xx N` ऐसा है कि `(a,a) R (c,d)` और `(c,d) R (e,f)` तब
`(a,b) R (c,d) rArr a + d = b + c`…(1)
`(c,d) R (e,f) rArr c + f = d + e`...(2)
समी। (1) और (2) को जोड़ने पर,
`(a + d) + (c + f) = (b + c) + (d + e)`
`rArr a + f = b + e`
`rArr (a,b) R (e,f)`
अत: (a,b) R (c,d) और `(c,d) R (e,f) rArr (a,b) R (e,f) AA (a,b), (c,d), (e,f) in N xx N`
`:. R, N xx N` पर संक्रामक है।
अत: R, `N xx N` पर एक तुल्यता संबंध है।