दर्शाइए कि दो तुल्यता संबंधो का सर्वनिष्ठ एक तुल्यता संबंध है।

Explanation

चूँकि R और S समुच्चय A में तुल्यता संबंध है।
`:. R sube A xx A` और `S sube A xx A`
`rArr R nn S sube A xx A`
`rArr R nn S`, A में एक संबंध है।
अब हम सिद्ध करेंगे कि `R nn S` समुच्चय A में एक तुल्यता संबंध है।
स्वतुल्यता: माना `a in A` तब
`a in A`
`rArr (a,a) in R` और `(a,a) in S`
[ `:'` R और S स्वतुल्य है]
`rArr (a,a) in R nn S AA a in A`
`:. R nn S`, A में स्वतुल्य संबंध है।
सममितता: माना `a,b, in A` इस प्रकार है कि `(a,b) in R nn S`, तब
`(a,b) in R nn S`
`rArr (a,b) in R` और `(a,b) in S`
`rArr (b,a) in R` और `(b,a) in S`
[ `:'` R और S सममित है]
`rArr (b,a) in R nn S AA a,b in A`
`:. R nn S`, A में सममित संबंध है।
संक्रामकता: माना `a,b, c in A` इस प्रकार है कि `(a,b) in R nnS` और `(b,c) in R nn S`, तब
`(a,b) in R nn S` और `(b,c) in R nnS`
`rArr {(a,b) in R, (a,b) in S}`
और `{(b,c) in R, (b,c) in S}`
`rArr {(a,b) in R, (b,c) in R}`
और `{(a,b) in S, (b,c) in S}`
`rArr (a,c) in R` और `(a,c) in S`
[ `:'` R और S संक्रामक है]
`rArr (a,c) in R nn S AA a,b,c in A`
`:. R nn S`, A में संक्रामक संबंध है।
अत: `R nn S`, A में एक तुल्यता संबंध है।