दर्शाइए कि पूर्णाकों के समुच्चय Z में `R = {(a,b) : 2, (a-b)}` को विभाजित करती है} द्वारा प्रदत्त संबंध एक तुल्यता संबंध है।

Explanation

स्वतुल्यता: प्रत्येक `a in Z` के लिए, `a- a = 0, 2` से विभाज्य है।
`rArr (a, a) in R`
`:. RZ` में स्वतुल्य है।
सममितता: माना `a, b, in Z` इस प्रकार है कि `(a, b) in R` तब `(a, b) in R`
`rArr a -b, 2` से विभाज्य है।
`rArr - (a- b), 2` से विभाज्य है।
`rArr (b-a), 2` से विभाज्य है।
`rArr (b,a) in R`
`:. R, Z` में सममित है।
संक्रामकता: माना `a, b, c, in Z` इस प्रकार है कि `(a, b) in R` और `(b,c) in R`, तब
`(a, b) in R` और `(b,c) in R`
`rArr a-b, 2` से विभाज्य है और `b-c, 2` से विभाज्य है।
`a-b= 2m` और `b -c, 2n` जहाँ `m, n in Z`
`rArr (a-b) + (b-c) = 2(m + n)`
`rArr a-c = 2(m + n)`
`rArr a-c, 2` से विभाज्य है।
`[ :' m, n in Z rArr m + n in Z]`
`rArr (a,c) in R`
`:. R, Z` में संक्रामक है।
अत: R,Z में एक तुल्यता संबंध है। अतएव R,Z को असंयुक्त तुल्यता वर्गो में निम्नानुसार विभाजित करेगा।
`A_(1) = [0] = {(a,0) in R : a in Z}`
अब, `(a,0) in R`
`rArr a- 0, 2` से विभाज्य है और `a in Z`
`rArr a= ….-4, -2,0,02,4…`
`:. [0] = {…-4, -2,0,2,4,..}`
= समस्त सम पूर्णको का समुच्चय।
`A_(2) = [1] = {(a,1) in R : a in Z}`
अब, `(a,1) in R`
`rArr a -1,2` से विभाज्य है और `a in Z`
`rArr a= 1, 3, 5`...
`rArr a= ....-3, 1, 1, 3, 5`....
`:. [1] = {....-3,-1, 1, 3, 5,...}`
= समस्त विषम पूर्णको का समुच्चय।
अत `Z = A_(1) uu A_(2)` और `A_(1) ne A_(2), A_(1) nn A_(2) = phi`