माना लीजिए कि A = R - {3} तथा B = R - {1} हैं । f (x) = `(x - 2)/( x - 3) ` व्दारा परिभाषित फलन `f : A to B` पर विचार कीजिए । क्या f एकैकी तथा आच्छादक हैं ? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए ।

Explanation

यहाँ f (x) = `( x - 2)/(x - 3) , x in A,` जहाँ A = R - { 3 }.
f एकैकी हैं : माना `x_(1) , x_(2) in A` , तब
`f (x_(1)) = f (x_(2))`
`rArr (x_(1) - 2)/(x_(1) - 3) = (x_(2) - 2) /(x_(2) - 3) `
`rArr (x _(1) - 2) ( x_(2) - 3) = (x_(1) - 3)( x_(2) - 2)`
`rArr x_(1) x_(2) - 3x_(1) - 2x_(2) + 6 = x_(1)x_(2) - 2x_(1) - 3x_(2) + 6 `
`rArr x_(1) = x_(2)`
अर्थात् `f (x_(1) ) = f (x_(2)) rArr x_(1) = x_(2) AA x_(1) , x_(2) in A`
`therefore f : A to B ` एकैकी हैं ।
f आच्छादक हैं : माना y , B का स्वेच्छ अवयव हैं , तब
f (x) = y
`rArr (x - 2)/(x - 3) = y `
`rArr x - 2 = y ( x - 3) `
`rArr x - 2 = xy - 3y `
`rArr x( l - y ) = 2 - 3y `
`rArr x = (2 - 3y ) /(1 - y ) in A , x ne 3.`
अब , f (x) = `f ((2 - 3y ) / ( 1 - y ) ) = ((2 - 3y)/(1- y) - 2 )/((2 - 3y )/(1 - y) - 3)`
` = (2 - 3y - 2 + 2y )/(2 - 3y - 3 + 3y ) = y`
अतः प्रत्येक `y in B` के लिए `( 2 - 3y ) /( 1 - y) in A` का अस्तित्व ऐसा हैं कि f (x) = y .
`therefore` f आच्छादक हैं ।
अतः `f : A to B` एकैकी आच्छादक फलन हैं ।
यही सिद्ध करना था ।