f (x) = `x^(2) + 4 ` व्दारा प्रदत्त फलन f : `R^(+) to [ 4 , oo)` पर विचार कीजिए । सिद्ध कीजिए कि f व्युत्क्रमणीय है तथा f का प्रतिलोम `f^(-1) (y) = sqrt (y - 4)` व्दारा प्राप्त होता हैं , जहाँ `R^(+)` सभी ऋणेत्तर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय हैं । ।

Explanation

यहाँ `f (x) = x^(2) + 4 , x in R^(+) ` .
f एकैकी हैं : माना `x_(1) , x_(2) in R^(+)`, तब
`f (x _(1)) = f (x_(2))`
`rArr x_(1)^(2) + 4 = x_(2)^(2) + 4 `
`rArr x_(1)^(2) - x_(2) ^(2) = 0`
`rArr (x_(1) - x_(2)) = 0 `
`rArr x_(1) - x_(2) = 0` [ `therefore x_(1) + x_(2) ne 0` क्योंकि `x_(1) , x_(2) in R^(+)`]
`rArr x_(1) = x_(2)`
`therefore f : R^(+) to [ 4 , oo`) एकैकी हैं ।
f आच्छादक हैं : माना y , [ 4,`oo`), का स्वेच्छ अवयव हैं , तब
y = f (x)
`rArr y = x^(2) + 4 `
`rArr x^(2) = y - 4`
`rArr x = sqrt ( y - 4) [ therefore x in R^(+)]`
साथ ही `y in (4 , oo) rArr y - 4 gt 0 `
`rArr sqrt(y - 4) gt 0 rArr x = sqrt( y - 4) in R^(+)` .
अब , f (x) = f ( sqrt (y - 4) )
= `( sqrt(y - 4))^(2) + 4 = y - 4 + 4 = y `
अतः प्रत्येक `y in [ 4, oo)` के लिए `x = sqrt ( y - 4) inR^(+)` का अस्तित्व इस प्रकार हैं कि f (x) = y .
`therefore f : R^(+) to [ 4 , oo) ` आच्छादक फलन हैं ।
अतः `f : R^(+) to [ 4 , oo)` एकैकी आच्छादक फलन हैं इसलिए f व्युत्क्रमणीय हैं । यही सिद्ध करना था ।
`f^(-1)` ज्ञात करना : माना f (x) = y
`rArr x^(2) + 4 = y `
`rArr x^(2) = y - 4`
`x = sqrt (y - 4) , [ therefore x in R^(+)]`
`rArr f^(-1) (y) = sqrt(y - 4) `
अतः `f ^(-1) : [ 4, oo) to R^(+) `, जहाँ `f^(-1)(y) = sqrt( y - 4) ` व्दारा परिभाषित हैं ।