माना A = { `x : x in R , - (pi)/(2) le x le (pi)/(2)`} और B = { y : y `in R , -1 le y le 1 } ` . दर्शाइये कि फलन `f : A to B` , जहाँ f (x) = sin x व्युत्क्रमणीय हैं तथा `f^(-1)` ज्ञात कीजिए ।

Explanation

यहाँ A = `[ - (pi)/(2) , (pi)/(2) ] , B = [ 1,1] `
f : A `to` B , f (x) = sin x , जहाँ `x in A.`
f एकैकी हैं : माना `x_(1) , x_(2) in A` , तब
`f (x_(1)) = f (x_(2))`
`rArr sinx_(1) = sin x_(2) `
`rArr x_(1) = x_(2) , [ because x_(1) , x_(2) in A`]
`therefore f : A to B ` एकैकी फलन हैं ।
f आच्छादक हैं : चूँकि (f) का परास = [ -1 , 1] = B , इसलिए f आच्छादक हैं । अतः f एकैकी आच्छादक हैं इसलिए f व्युत्क्रमणीय हैं । यही सिद्ध करना था ।
`f^(-1)` ज्ञात करना : माना y = f(x)
`rArr y = sin x `
`rArr x = sin^(-1) y `
`rArr f ^(-1) (y) = sin^(-1) y .`
अतः `f ^(-1) : [ -1,1] to [ - (pi)/(2) , (pi)/(2) ] ` जहाँ
`f^(-1) (y) = sin^(-1) y ` व्दारा परिभाषित हैं ।