बिना प्रसार किए और सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए -
`|(b+c,q+r,y+z),(c+a,r+p,z+x),(a+b,p+q,x+y)|=2|(a,p,x),(b,q,y),(c,r,z)|`

Explanation

`L.H.S.=|(b+c,c+a,a+b),(q+r,r+p,p+q),(y+z,z+x,x+y)|`
`=|(b,c+a,a+b),(q,r+p,p+q),(y,z+x,x+y)|+|(c,c+a,a+b),(r,r+p,p+q),(z,z+x,x+y)|`
`|(b,c,a+b),(q,r,p+q),(y,z,x+y)| +|(b,a,a+b),(q,p,p+q),(y,x,x+y)|+|(c,c,a+b),(r,r,p+q),(z,z,x+y)|+|(c,a,a+b),(r,p,p+q),(z,x,x+y)|`
`|(b,c,a),(q,r,p),(y,z,x)|+|(b,c,b),(q,r,q),(y,z,y)|+|(b,a,a),(q,p,p),(y,x,x)|+|(b,a,b),(q,p,q),(y,x,y)| +0+|(c,a,a),(r,p,p),(z,x,x)| +|(c,a,b),(r,p,q),(z,x,y)|`
`|(b,c,a),(q,r,p),(y,z,x)|+|(c,a,b),(r,p,q),(z,x,y)|(-1)^2|(a,b,c),(p,q,r),(x,y,z)|+(-1)^2|(a,b,c),(p,q,r),(x,y,z)|=2|(a,b,c),(p,q,r),(x,y,z)|=R.H.S`.