यदि x,y,z भिन्न हो और `Delta=|(x,x^2,1+x^3),(y,y^2,1+y^3),(z,z^2,1+z^3)|=0`, तो दर्शाइए कि- `1+xyz=0` या `xyz=-1`.

Explanation

यहाँ `Delta=|(x,x^2,1+x^3),(y,y^2,1+y^3),(z,z^2,1+z^3)|`
`rArrDelta=|(x,x^2,1),(y,y^2,1),(z,z^2,1)|+|(x,x^2,x^3),(y,y^2,y^3),(z,z^2,z^3)|` (तृतीय स्तम्भ के सभी अवयव दो पदों का योग है)
`rArrDelta=|(x,x^2,1),(y,y^2,1),(z,z^2,1)|+xyz|(1,x,x^2),(1,y,y^2),(1,z,z^2)|`
(`C_2,C_2` और `C_3` से क्रमशः x,y,z उभयनिष्ट लेने पर )
`rArrDelta=-|(x,1,x^2),(y,1,y^2),(z,1,z^2)|+xyz|(1,x,x^2),(1,y,y^2),(1,z,z^2)|`
(`C_1harrC_2` से)
`rArrDelta=|(1,x,x^2),(1,y,y^2),(1,z,z^2)|+xyz|(1,x,x^2),(1,y,y^2),(1,z,z^2)|`
(`C_1harrC_2` से)
`rArrDelta=|(1,x,x^2),(1,y,y^2),(1,z,z^2)|(1+xyz)`
`rArrDelta=|(1,x,x^2),(0,y-x,y^2-x^2),(0,z-x,z^2-x^2)|(1+xyz)` ,
(संक्रियाओं `R_2toR_2-R_1` और `R_3toR_3-R_1` से)
`rArrDelta=(y-x)(z-x)|(1,x,x^2),(0,1,y+x),(0,1,z+x)|(1+xyz)`
[`R_2 `और `R_3` से (y-x) और (z-x) उभयनिष्ट लेने पर]
`rArr Delta=(y-x)(z-x)xx1xx|(1,y+x),(1,z+x)|(1+xyz)`,
(`C_1` के अनुदिश प्रसार करने पर)
`rArr Delta=(y-x)(z-x)(z+x-y-x)(1+xyz)`
`rArr Delta =(y-x)(z-x)(z-x)(z-y)(1+xyz)`
`rArr =9x-y)(y-z)(z-x)(1+xyz)`
`rArr (x-y)(y-z)(z-x)(1+xyz)=0`
`rArr 1+xyz=0`
`(because x ne y ne z -y ne 0),y-zne 0 "और" z-xne 0)`
`rArr xyz=-1`.