किसी आदिश p के लिए सिद्ध कीजिए -
`Delta =|(x,x^2,1+px^2),(y,y^2,1+px^3),(z,z^2,1+pz^3)|=(1+pxyz)(x-y)(y-z)(z-x)`.

Explanation

यहाँ `Delta =|(x,x^2,1+px^2),(y,y^2,1+px^3),(z,z^2,1+pz^3)|`
`rArrDelta =|(x,x^2,1),(y,y^2,1),(z,z^2,1)|+|(x,x^2,px^2),(y,y^2,px^3),(z,z^2,pz^3)|` , (`therefore` तृतीय स्तम्भ में प्रत्येक अवयव दो पदों का योग है )
`rArrDelta =-|(1,x^2,x),(1,y^2,y),(1,z^2,z)|+pxyz|(1,x^2,x^2),(1,y^2,y^3),(1,z^2,z^3)|`
(प्रथम सारणिक में `C_1harrC_3` से और द्वितीय सारणिक में `R_1,R_2,R_3` से क्रमशः x,y,z उभयनिष्ट लेने पर )
`rArrDelta =|(1,x,x^2),(1,y,y^2),(1,z,z^2)|+pxyz|(1,x,x^2),(1,y,y^2),(1,z,z^2)|(C_1harrC_3 "से")`
`rArrDelta(1+pxyz) =|(1,x,x^2),(1,y,y^2),(1,z,z^2)|`
`rArrDelta(1+pxyz) =|(1,x,x^2),(0,y-x,y^2-x^2),(0,z-x,z^2-x^2)|`, (संक्रिय `R_2harrR_2-R_1` और `R_3toR_1` से)
`rArr Delta =(1+pxyz)(y-x)(z-x)|(1,x,x^2),(0,1,y+x),(0,1,z+x)|,[R_2 "और" R_3 "से" (y-x) "और" (z-x) "से उभयनिष्ट लेने पर" )`
`rArr Delta=(1+pxyz)(y-x)(z-x)|(1,y+x),(1,z+x)|`
(`C_1` के अनुदिश प्रसार करने पर )
`rArr Delta =(1+pxyz)(y-x)(z-x)(z+x-y-x)`
`rArr =(1+pxyz)(x-z(x-y)(y-z)(z-x)` .