सारणिकों के गुणधर्मों के प्रयोग से सिद्ध कीजिए -
`|(1,a,a^3),(1,b,b^3),(1,c,c^3)|=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)`.

Explanation

L.H.S.`=|(1,a,a^3),(1,b,b^3),(1,c,c^3)| `
`=|(1,a,a^3),(0,b-a,b^3-a^3),(0,c-a,c^3-a^3)| `
संक्रियाओं `R_2toR_2-R_1` और `R_3toR_3-R_1` से)
`=|(1,a,a^3),(0,b-a,(b-a)(b^2+a^2+ab)),(0,c-a,(c-a)(c^2+a^2+ac))|, [because x^3-y^3=(x-y)(x^2+y^2+xy]`
`=(b-a)(c-a)|(1,a,a^3),(0,1,b^2+a^2+ab),(0,1,c^3+a^2+ac)|` , [`R_2` और `R_3` से (b-c) और (c-a) उभयनिष्ट लेने पर]
`=(b-a)(c-a)xx|(1,b^2+a^2+ab),(1,c^2+a^2+ac)|`
`=(b-a)(c-a)xx(c^2+a^2+ac-b^2-a^2-ab)`
`=(b-a)(c-a)[(c^2-b^2)+a(c-b)]`
`=(b-a)(c-a)(c-b)[(c+b)+a]`
`=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)`.
R.H.S.