सारणिकों के गुणधर्मों के प्रयोग से सिद्ध कीजिए कि - `|((b+c)^2,a^2,a^2),(b^2,(c+a)^2,b^2),(c^2,c^2,(a+b)^2)|=2abc(a+b+c)^3`.

Explanation

माना `Delta=|((b+c)^2,a^2,a^2),(b^2,(c+a)^2,b^2),(c^2,c^2,(a+b)^2)|`
[ संक्रियाओं `C_1toC_1-C_3` और `C_2toC_2-C_3` से ] ,
`Delta=|((b+c)^2-a^2,a^2,a^2),(0,(c+a)^2-b^2,b^2),(c^2-(a+b)^2,c^2-(a+b)^2,(a+b)^2)|`
`rArr Delta=(a+b+c)^2Delta=|(b+c-a,0,a^2),(0,c+a-b,b^2),(c-a-b,c-a-b,(a+b)^2)|`
[`C_1` और `C_2` से (a+b+c) उभयनिष्ट लेने पर ]
`rArr Delta=(a+b+c)^2|(b+c-a,0,a^2),(0,c+a-b,b^2),(-2b,-2a,2ab)|`
[ संक्रिया `R_3toR_3-(R_1+R_2)` से ]
`rArr Delta=((a+b+c)^2)/(ab)|(ab+ac-a^2,0,a^2),(0,bc+ba-b^2,b^2),(-2b,-2ab,2ab)|`
[ संक्रिया `C_1toC_1+C_3,C_2toC_2+C_3` से ]
`rArr Delta =((a+b+c)^2)/(ab)xxabxx2ab|(b+c,a,a),(b,c+a,b),(0,0,1)|`
`rArr Delta=2ab(a+b+c)^2xx1xx|(b+c,a),(b,c+a)|`
(`R_3` के सापेक्ष प्रसार करने पर)
`rArr Delta=2ab(a+b+c)^2{(b+c)(c+a)-ab}`
`rArr Delta=2abc(a+b+c)^3`.