सारणिकों के गुणधर्मों में सिद्ध कीजिए - `|(a^2,a^2-(b-c)^2,bc),(b^2,b^2-(c-a)^2,ca),(c^2,c^2-(a-b)^2,ab)|=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c(a^2+b^2+c^2)`.

Explanation

L.H.S.`=|(a^2,a^2-(b-c)^2,bc),(b^2,b^2-(c-a)^2,ca),(c^2,c^2-(a-b)^2,ab)|`
`=|(a^2,-(b-c)^2,bc),(b^2,-(c-a)^2,ca),(c^2,-(a-b)^2,ab)|`
( संक्रिया `C_2toC_2-C_1` से)
`=-|(a^2,b^2+c^2-2bc,bc),(b^2,c^2+a^2-2ac,ca),(c^2,a^2+b^2-2ab,ab)|`
(`C_2` से '-' उभयनिष्ट लेने पर)
`=-|(a^2,a^2+b^2+c^2,bc),(b^2,a^2+b^2+c^2,ca),(c^2,a^2+b^2+c^2,ab)|`
संक्रिया `C_2toC_2+C_1+2C_3` से)
`=(a^2+b^2+c^2)|(a^2,1,bc),(b^2,1,ca),(c^2,1,ab)|`
[`C_2` से `(a^2+b^2+c^2)` उभयनिष्ट लेने पर]
`=-(a^2+b^2+c^2)|(a^2-b^2,0,c(b-a)),(b^2-c^2,0,a(c-b)),(c^2,1,ab)|`
संक्रियाओं `R_1to R_1-R_2` और `R_2toR_2-R_3` से)
`=-(a^2+b^2+c^2)(a-b)(b-c)|(a+b,0,-c),(b+c,0,-a),(c^2,1,ab)|`
[`R_1`से (a-b) और `R_2`से (b-c) उभयनिष्ट लेने पर]
`=-(a^2+b^2+c^2)(a-b)(a-b)(b-c)|(a+b+c,0,-c),(b+c+a,0,-a),(c^2-ab,1,ab)|`
( संक्रिया `C_1toC_1-C_3` से)
`=-(a^2+b^2+c^2)(a-b)(b-c)xx(-1)^(3+2)|(a+b+c,-c),(a+b+c,-a)|`
(`C_2` के सापेक्ष प्रसार करने पर)
`=(a^2+b^2+c^2)(a-b)(b-c)xx(a+b+c)(c-a)`
`=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)`
=R.H.S.