दर्शाइये कि फलन `f(x) = |x|` एक संतत फलन है ।

Explanation

मापांक फलन कि परिभाषा से,
`f(x)=|x|={{:(x",",x ge 0),(-x",",x le 0):}`
स्पष्टत: dom (f) = R.
माना a एक स्वेच्छ वास्तविक संख्या है ।
स्थिति I. `a lt 0` के लिए, `f(a) =-a`
अब, `underset(x rarr a^(+))(lim)f(x)=underset(h rarr 0)(lim)f(a+h)`
`= underset(h rarr 0)(lim)-(a+h)`,
[`because a + h lt 0` जबकि `a lt 0` और h बहुत ही सूक्ष्म धनात्मक वास्तविक संख्या है]
`= -a + underset(h rarr 0)(lim)(-h)`
`=-a + 0 =-a`
और `underset(x rarr a^(-))(lim)f(x)=underset(h rarr 0)(lim)f(a-h)`
`= underset(h rarr 0)(lim)-(a-h)`,
[`because a - h lt 0` जबकि `a lt 0` और h बहुत ही सूक्ष्म धनात्मक वास्तविक संख्या है]
`=-a + underset(h rarr 0)(lim)h`
`=-a + 0 =-a`
`therefore" "underset(x rarr a^(+))(lim)f(x)=underset(x rarr a^(-))(lim)f(x)=f(a)`
अत: f(x) बिन्दु प्रत्येक `a lt 0` के लिए संतत है ।
स्थिति II. a = 0 के लिए `f(a) = f(0)=0`
अब `underset(x rarr 0^(+))(lim)f(x)=underset(h rarr 0)(lim)f(0+h)`
`= underset(h rarr 0)(lim)f(h)`
`= underset(h rarr 0)(lim)h = 0`
और `underset(x rarr 0^(-))(lim)f(x)=underset(h rarr 0)(lim)f(0-h)`
`= underset(h rarr 0)(lim)f(-h)`
`= underset(h rarr 0)(lim)-(-h)`,
[`because -h lt 0`, इसलिए `f(-h)=-(-h)`]
`=underset(h rarr 0)(lim)h = 0`
`therefore" "underset(x rarr 0^(+))(lim)f(x)=underset(h rarr 0^(-))(lim)f(x)=f(0)`
अत: f(x) बिन्दु x = 0 के लिए संतत है ।
स्थिति III. `a gt 0` के लिए, `f(a)=a`
अब `underset(x rarr a^(+))(lim)f(x)=underset(h rarr 0)(lim)f(a+h)`
`= underset(h rarr 0)(lim)(a+h)`,
[`because a + h gt 0`, इसलिए `f(x) =x`]
`= a + 0`
= a
और `underset(x rarr a^(-))(lim)=underset(h rarr 0)(lim)f(a-h)`
`= underset(h rarr 0)(lim)(a-h)`
[`because a-h lt 0` जबकि `a gt 0` और h बहुत ही सूक्ष्म धनात्मक वास्तविक संख्या है]
`= a-0=a`
`therefore" "underset(x rarr a^(+))(lim)f(x)=underset(h rarr a^(-))(lim)f(x)=f(a)`
अत: f(x) प्रत्येक `a gt 0` के लिए संतत है ।
अत: `f(x)=|x|` संतत है ।