अंतराल `[-1,2]` में फलन `f(x) = |x| + |x - 1|` के सांतत्यता की विवेचना कीजिए ।

Explanation

चूँकि `x in [-1,2]`, तब
`f(x)=-x-(x-1)=1-2x` जबकि `-1 le x lt 0`
`f(x) = x -(x-1)=1` जबकि `0 lt x le 1`
`f(x) = x + x - 1 = 2x -1` जबकि `1 lt x le 2`
`f(x)={{:(1-2x",",-1 le x lt 0),(" "1",",0 le x le 1),(2x-1",",1 lt x le 2):}`
`-1 lt x lt 0` के लिए `f(x)=1-2x` एक बहुपद फलन है इसलिए यह एक संतत फलन है ।
`0 lt x lt 1` के लिए `f(x)=1` एक अचर फलन है इसलिए यह एक संतत फलन है ।
`1 lt x lt 2` के लिए `f(x)=2x-1` एक बहुपद फलन है इसलिए यह एक संतत फलन है ।
अब हम f(x) के सांतत्यता कि जाँच `x =-1,0,1` और 2 पर जाँच करेंगे ।
`x =-1` पर : `f(-1)=1-2(-1)=3`
अब `underset(x rarr (-1)^(+))(lim)f(x)=underset(h rarr 0)(lim)f(-1+h)`
`=underset(h rarr 0)(lim)1-2(-1+h)," "[because -1+h lt "0 और f(x)"= 1-2x,-1 le x lt 0]`
`= underset(h rarr 0)(lim)(3-2h)=3`
`therefore" "underset(x rarr (-1)^(+))(lim)f(x)=f(-1)`
`rArr f(x)` बिन्दु x = -1 पर संतत है ।
x = 0 पर : `f(0) =1`
`underset(x rarr 0^(+))(lim)f(x)=underset(h rarr 0)(lim)f(0+h)`
`=underset(h rarr 0)(lim)f(h)`
`=underset(h rarr 0)(lim)1," "[because h gt "0 और f(x)"= 1, 0 le x le "1 के लिए"]`
`therefore" "underset(x rarr 0^(+))(lim)f(x)=f(0)`
`rArr f(x)` बिन्दु x = 0 पर संतत है ।
x = 1 पर : `f(1) = 1`
`underset(x rarr 1^(+))(lim)f(x)=underset(h rarr 0)(lim)f(1+h)`
`=underset(h rarr 0)(lim)2(1+h)-1," "[because 1 + h gt "0 और f(x)"=2x -1, 1 lt x le "2 के लिए"]`
`= underset(h rarr 0)(lim)(1+2h)=1`
`therefore" "underset(x rarr 1^(+))(lim)f(x)=f(1)`
`rArr f(x)` बिन्दु x = 1 पर संतत है ।
x = 2 पर :`f(2) = 2(2)-1=3`
`underset(x rarr 2^(-))(lim)f(x)=underset(h rarr 0)(lim)f(2-h)`
`=underset(h rarr 0)(lim)2(2-h)-1," "[because 2 - h lt "2 और f(x)"=2x -1, 1 lt x le "2 के लिए"]`
`=underset(h rarr 0)(lim)(3-2h)=3`
`therefore" "underset(x rarr 2^(-))(lim)f(x) = f(2)`
`rArr f(x)` बिन्दु x = 2 पर संतत है ।
अत: f(x) अंतराल (-1, 2) के प्रत्येक बिन्दु तथा x = -1 और 2 पर संतत है ।
अतएव f(x) अंतराल [-1, 2] में संतत है ।