a तथा b के मानो को ज्ञात कीजिए जबकि `f(x)={{:(x+a sqrt(2) sin x",","यदि",0 le x lt (pi)/(4)),(2 x cot x + b",","यदि",(pi)/(4) le x lt (pi)/(2)),(a cos 2 x - b sin x",","यदि",(pi)/(2) le x le pi):}` द्वारा परिभाषित फलन अंतराल `[0, pi]` में एक संतत फलन है ।

Explanation

`0 le x lt (pi)/(4)` के लिए f(x) एक संतत फलन है क्योकि यह दो संतत फलनों x और `a sqrt(2) sin x` का योग है ।
`(pi)/(4) lt x lt (pi)/(2)` के लिए f(x) एक संतत फलन है क्योकि यह दो संतत फलनों `2 x cot x` और b (अचर फलन) का योग है ।
`(pi)/(2) lt x le pi` के लिए f(x) एक संतत फलन है क्योकि यह दो संतत फलनों `2 cos 2x` और `b sin x` का अंतर है ।
अत: फलन f(x) अंतराल `[0, pi]` में संतत फलन है जबकि `x = (pi)/(4)` और `x = (pi)/(2)` शामिल नहीं है ।
`x = (pi)/(4)` पर : `f((pi)/(4))=2(pi)/(4)"cot"(pi)/(4)+b=(pi)/(2)+b`
अब, `underset(x rarr (pi^(-))/(4))(lim) f(x) = underset(x rarr 0)(lim) f((pi)/(4)-h)`
`= underset(h rarr 0)(lim)((pi)/(4)-h)+a sqrt(2)sin((pi)/(4)-h)=(pi)/(4)+a`
और `underset(h rarr (pi^(+))/(4))(lim) f(x)=underset(h rarr 0)(lim)f((pi)/(4)+h)`
`=underset(h rarr 0)(lim 2)((pi)/(4)+h)cot((pi)/(4)+h)+b=(pi)/(2)+b`
चूँकि फलन f(x) बिन्दु `x = (pi)/(4)` पर संतत है ।
`therefore" "(pi)/(2)+b=(pi)/(4)+a`
`rArr" "a-b=(pi)/(4)" "...(1)`
`x = (pi)/(2)` पर : `f((pi)/(2))=a cos pi - b "sin"(pi)/(2)=-a-b`
अब `underset(x rarr (pi^(-))/(2))(lim)f(x)=underset(h rarr 0)(lim)f((pi)/(2)-h)`
`= underset(h rarr 0)(lim 2)((pi)/(2)-h)cot((pi)/(2)+h)+b = b`
और `underset(x rarr (pi^(+))/(2))(lim)f(x)=underset(h rarr 0)(lim)f((pi)/(2)+h)`
`= underset(h rarr 0)(lim) [a cos (pi + 2h)-b sin((pi)/(2)+h)]=-a - b`
चूँकि f(x) बिन्दु `x = (pi)/(2)` पर संतत है ।
`therefore" "b = -a-b`
`rArr" "a + 2b = 0" "...(2)`
समी. (1) और (2) से,
`a = (pi)/(6), b = (-pi)/(12)`