यदि `y=(sinx)^(x)+sin^(-1)sqrtx` हो,तो `(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए ।

Explanation

`y=(sinx)^(x)+sin^(-1)sqrtx`
`u=(sinx)^(x)` और `v=sin^(-1)sqrtx` रखने पर,
`y=u+v`
`rArr(dy)/(dx)=(du)/(dx)+(dv)/(dx)`
अब, `u=(sinx)^(x)`
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
`rArrlogu=log(sinx)^(x)`
`rArrlogu=xlog(sinx)`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`1/u(du)/(dx)=x.(1)/(sinx).cosx+log(sinx).1`
`rArr(du)/(dx)=u[xcotx+log(sinx)]`
`rArr(du)/(dx)=(sinx)^(x)[xcotx+log(sinx)]` ...(2)
और `v=sin^(-1)sqrtx`
`rArr(dv)/(dx)=1/(sqrt(1-x)).(1)/(2sqrtx)` ...(3)
`[becaused/(dx)sin^(-1)x=1/sqrt(1+x^(2)))]`
समी. (1),(2) और (3) से,
`(dy)/(dx)=(sinx)^(x)[xcotx+log(sinx)]+1/(2sqrtxsqrt(1-x))`