यदि `y=x^(sinx-cosx)+(x^(2)-1)/(x^(2)+1)` हो,तो `(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए ।

Explanation

`y=x^(sinx-cosx)+(x^(2)-1)/(x^(2)+1)`
`u=x^(sinx-cosx)` और `v=(x^(2)-1)/(x^(2)+1)` रखने पर, ltbr. Y=u+v
`therefore(dy)/(dx)=(du)/(dx)+(dv)/(dx)` ..(1)
अब, `u=x^(sinx-cosx)`
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
`rArrlogu=logx^(sinx-cosx)`
`rArrlogu=(sinx-cosx)logx`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`1/u(dy)/(dx)=(sinx-cosx)1/x+logx(cosx+sinx)`
`rArr(du)/(dx)=u[((sinx-cosx))/x+(cosx+sinx)logx]`
`rArr(du)/(dx)=x^(sinx-cosx)[((sinx-cosx))/x+(cosx+sinx)logx]`
...(2)
और `v=(x^(2)-1)/(x^(2)+1)`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dv)/(dx)=((x^(2)+1)d/(dx)(x^(2)-1)-(x^(2)-1)d/(dx)(x^(2)+1))/((x^(2)+1)^(2))`
`rArr(dv)/(dx)=((x^(2)+1)xx2x-(x^(2)-1)xx2x)/((x^(2)+1)^(2))`
`rArr(dv)/(dx)=(2x[x^(2)+1-x^(2)+1)/((x^(2)+1)^(2))`
`rArr(dv)/(dx)=(4x)/((x^(2)+1)^(2))`
समी. (1),(2) और (3) से,
`(dy)/(dx)=x^(sinx-cosx)[(sinx-cosx)/x+logx(cosx+sinx]+(4x)/((x^(2)+1)^(2))`