यदि ` ( x - a ) ^ 2 + ( y - b ) ^2 = c ^ 2 ` हो , तो सिद्ध कीजिये कि ` ({ 1 + (( dy )/ (dx)) ^ 2 }^( 3//2)) /( ( d^ 2 y ) /( dx ^ 2 )) ` एक अचर है जो कि a और b से स्वतंत्र है |

Explanation

दिया गया है -
` ( x - a ) ^ 2 + ( y -b ) ^ 2 = c^ 2 " " `...(1)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
` 2 ( x- a ) + 2 ( y- b ) ( dy ) / ( dx ) = 0 " "`...(2)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर,
` 1 + ( y - b ) * ( d^ 2 y ) /( d x ^ 2 ) + ((dy) / (dx)) ^ 2 = 0 `
` rArr ( y - b ) (d^ 2 y ) /( dx^ 2 ) = - { 1 + ((dy ) /(dx )) ^ 2 } `
` rArr (d^ 2 y ) /( dx ^ 2 ) =- ( {1 + ((dy)/(dx ))^ 2 } ) /( y - b ) ` ...(3)
[समी. (2 ) से]
` ( dy ) /( dx ) = - ( ( x - a ) )/( ( y - b ))`
` rArr 1 + ((dy ) /(dx)) ^ 2 = 1 + ((x -a ) ^ 2 ) / ( ( y - b ) ^2 ) `
` rArr 1 + (( dy ) /(dx))^ 2 = (( x - a ) ^2 + ( y - b ) ^ 2 )/( ( y - b) ^2 ) `
` rArr 1 + ((dy ) /(dx )) ^2 = ( c^ 2 ) /( ( y - b ) ^ 2 ) " "` [समी. (1 ) से] ...(4)
` rArr { 1 + (( dy ) /(dx )) ^ 2 }^ ( 3//2 ) = { ( c ^ 2 ) /(( y - b ) ^ 2 ) }^ (3//2 ) = ( c^ 3 ) /( ( y - b ) ^ 3 ) ` ...(5)
समी. (3 ) और (4 ) से ,
` ( d^ 2 y ) / ( dx ^ 2) = - ({ 1 + (( dy ) /(dx ))^2 } ) /( y - b ) = - ( ( c^ 2 ) /(( y - b ) ^ 2 ) ) /(( y - b )) = ( -c ^ 2 ) /( ( y - b ) ^ 3 ) `...(6)
समी. (5 ) और (6 ) से,
` ( { 1 + ((dy ) / (dx))^ 2 }^( 3//2 ) ) /( ( d^2 y ) / (dx^ 2 ) ) = (( c^ 3 ) /( ( y - b)^3 )) / (( - c^2 ) /((y - b) ^3 )) = - c `
जो कि a और b से स्वतन्त्र है |